Moment impulsa

Ovaj žiroskop zadržava uspravnom (u vertikalnom pravcu) svoju osu rotacije zahvaljujući zakonu održanja njegovog momenta impulsa.

Moment impulsa (poznat i kao moment količine kretanja ili ugaoni moment) je fizička veličina kojom se meri nastojanje materijalnog tela da nastavi da rotira. Formalno se definiše kao:

• Vektorski proizvod vektora položaja tela merenog od izabrane referentne tačke i njegovog impulsa.
• Proizvod momenta inercije i ugaone brzine.

Momentom impulsa se izražava kako kretanje tela po orbiti (kruženje Zemlje oko Sunca) tako i rotacija tela oko sopstvenog centra mase (rotacija Zemlje oko sopstvene ose). Moment impulsa je vektorska veličina, dakle, poseduje intenzitet, pravac i smer. Pravac vektora momenta impulsa je normalan na ravan orbite tela (paralelan sa osom rotacije) i poklapa se sa pravcem vektora ugaone brzine. Moment impulsa ima dimenzije dejstva, ML²T^-1 i u MKS sistemu izražava se u Džul-sekundama J s ili N m s, a SI jedinica za moment impulsa je kgm²s^-1 (kilogram metar na kvadrat po sekundi ).

Moment impulsa je održan, dakle, za njega važi zakon održanja (konzervacije). Prema ovom zakonu, moment impulsa fizičkog sistema ostaje konstantan (nepromenjen) dok ga ne promeni spoljašnja sila, tačnije moment sile. Ili, ekvivalentno tome, moment sile jednak je brzini promene momenta impulsa. Kada kruto telo rotira, njegovo protivljenje promeni rotacionog kretanja meri se njegovim momentom inercije.

Moment impulsa je koncept značajan ne samo za fiziku (Kvantna mehanika je zasnovana na diskretnosti orbitalnog i sopstvenog (spinskog) momenta impulsa elektrona); u astronomiji za kretanje nebeskih tela; u inžinjerstvu (uskladištena energija u telu koje rotira, kao što je zamajac, proporcionalna je kvadratu momenta impulsa, rad žiroskopa, tehničkog uređaja koji služi za orijentaciju u prostoru (žiroskopski kompas) ili stabilizaciju položaja nekih uređaja (Hablov svemirski teleskop, nišanske sprave u tenkovima) zasniva se na zakonu održanja momenta impulsa); u svakodnevnom životu (piruete klizača na ledu, vratolomije skakača u vodu, vožnja biciklom, čigra, jo-jo...).

Moment impulsa u klasičnoj mehanici

Zavisnost između vektora sile F i momenta sile $\tau$, kao i vektora impulsa p i momenta impulsa L kod rotacionog sistema. Rastojanje (vektor položaja) tela u odnosu na tačku (osu) rotacije označeno je sa r.

Definicija

Moment impulsa čestice u odnosu na izvorište koordinatnog sistema definiše se kao:

${\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}$

gde je:

${\vec {L}}$ — moment impulsa čestice

${\vec {r}}$ — vektor položaja čestice u odnosu na izvorište koordinatnog sistema

${\vec {p}}$ — impuls čestice,

a

$\times \,$ — je oznaka za vektorski proizvod navedenih veličina.

Ili drugim rečima, vektor momenta impulsa jednak je vektorskom proizvodu vektora položaja i impulsa čestice.

SI jedinica za moment impulsa je njutn metar sekund, a njegova oznaka je Nms (kgm²s^-1).

S obzirom da se dobija vektorskim množenjem, ${\vec {L}}$ je pseudovektor čiji je pravac normalan (pod pravim uglom) i na radijus vektor ${\vec {r}}$, a i na vektor impulsa ${\vec {p}}$.

Ako se mehanički sistem sastoji od više čestica, njegov moment impulsa u odnosu na izvorište koordinatnog sistema može se dobiti sabiranjem (ili integriranjem) momenata impulsa svih čestica u sistemu. Intenzitet (brojna vrednost) momenta impulsa može se takođe izračunati i množenjem kvadrata udaljenosti r, zatim mase čestice (m) i njene ugaone brzine ($\omega$).

U mnogim primenama gde je jedino od interesa rotacija oko jedne ose, dovoljno je da se zanemari pseudovektorska priroda momenta impulsa, i da se prema njemu odnosi kao prema skalaru koji je pozitivan kada se rotacija vrši suprotno od smera kretanja kazaljki na satu (posmatrano sa vrha vektora L), a negativan za rotaciju u smeru kretanja kazaljki na satu. Za to je dovoljno uzeti definiciju vektorskog proizvoda i odbaciti jedinični vektor, tako da moment impulsa postaje:

$L=|{\vec {r}}||{\vec {p}}|\sin \theta _{r,p}$

Gde je θ_r,p ugao između ${\vec {r}}$ i ${\vec {p}}$, i to, treba naglasiti, meren od ${\vec {r}}$ ka ${\vec {p}}$, što je važno da znak vektorskog proizvoda ne bi izgubio svoj smisao. Na osnovu gornjeg, moguće je preformulisati definiciju momenta impulsa na sledeći način:

$L=\pm |{\vec {p}}||{\vec {r}}_{\perp }|$

Gde je ${\vec {r}}_{\perp }$ rastojanje koje se kod poluge naziva “krak” ili kračno rastojanje do ${\vec {p}}$.

Najlakši način da se ovo konceptalizuje je da se krak shvati kao najkraće rastojanje od izvorišta koordinatnog sistema do prave duž koje je vektor ${\vec {p}}$ usmeren. Uz ovu definiciju, neophodno je uzeti u obzir i smer od ${\vec {p}}$ (u smeru ili suprotno od smera kretanja kazaljki na satu) u zavisnosti od smera ${\vec {L}}$. Ekvivalentno tome:

$L=\pm |{\vec {r}}||{\vec {p}}_{\perp }|$

Gde je ${\vec {p}}_{\perp }$ komponenta vektora ${\vec {p}}$ koja je poprečna na vektor ${\vec {r}}$. Kao i u prethodnom slučaju, znak je određen na osnovu smera rotacije.

Za telo konstantne mase koje rotira oko fiksirane (učvršćene) ose simetrije, moment impulsa je izražen kao proizvod momenta inercije tela i njegovog vektora ugaone brzine:

${\vec {L}}=I{\vec {\omega }}$

gde je:

$I\,$ - moment inercije tela (u opštem slučaju to je tenzorska veličina

$\mathbf {\omega }$ - ugaona brzina

Održanje momenta impulsa

U izolovanom sistemu moment impulsa se održava (konstantan je). Ovaj zakon održanja matematički sledi iz izotropnosti prostora kao jedne od njegovih simetrija (ne postoje istaknuti pravci u prostoru nego su svi pravci u prostoru ravnopravni ili ekvivalenti, .

Prvi izvod momenta impulsa po vremenu naziva se moment sile:

${\vec {M}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {r}}\times {\frac {\mathrm {d} {\vec {p}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {r}}\times {\vec {F}}$

(moment sile na engleskom govornom području obeležava se grčkim slovom „tau“ ($\tau$), (kao što je slučaj i na gornjoj slici) od engleskog naziva za ovu veličinu tork (torque) )

Tako da, uslov da sistem bude izolovan ovde se može izraziti izjednačavanjem spoljašnjeg momenta sile sa nulom:

${\vec {L}}_{\mathrm {sistema} }=\mathrm {const} \leftrightarrow \sum {\vec {M}}_{\mathrm {ext} }=0$

gde je ${\vec {M}}_{ext}$ bilo koji moment spoljašnjih (eksternalnih) sila koje deluju na sistem čestica.

Kod planetarnih orbita, moment impulsa se raspodeljuje između sopstvenog momenta impulsa (rotacije oko sopstvene ose) i orbitalnog momenta impulsa oko zajedničkog centra mase (u našem sistemu to je Sunce).

Ako se utvrdi da planeta rotira sporije nego što se očekuje, tada astronomi obično posumnjaju da je ona praćena nekim svojim satelitom, pošto se ukupni moment impulsa u tom slučaju deli između planete i njenog satelita tako da bude zadovoljeno održanje momenta impulsa.

Održanje momenta impulsa se koristi kod opisa kretanja pod uticajem centralnih sila. Jer, ako je sila koja deluje na neko telo usmerena uvek ka nekoj fiksiranoj tački, „centru“, tada je moment ove sile u odnosu na „centar“ jednak nuli i, prema tome, moment impulsa tela u odnosu na „centar“ je konstantan. Na taj način pokazuje se da je konstantni moment impulsa izuzetno koristan kada imamo posla sa orbitama planeta i njihovih satelita ili, takođe, kada analiziramo Borov model atoma .

Konzervacija momenta impulsa objašnjava i ugaono ubrzanje u primeru klizanja na ledu, kada klizači primiču svoje ruke i noge bliže vertikalnoj osi rotacije. Primicanjem delova mase svoga tela bliže osi rotacije oni smanjuju moment inercije svoga tela. Pošto je moment impulsa konstantan u odsustvu spoljašnjeg momenta sile, kao što je to u ovome slučaju, ugaona brzina (brzina rotacije) klizača se povećava.

Fenomen sličan ovome je i ekstremno brza rotacija kompaktnih zvezda (kao što su beli patuljci, pulsari ili hipotetičke crne rupe) koje nastaju sažimanjem mnogo većih zvezda koje mnogo sporije rotiraju (zaista, smanjenje veličine objekta za 10⁴ puta rezultuje u povećanju ugaone brzine za množilac 10⁸).

Moment impulsa u relativističkoj mehanici

U modernoj teorijskoj fizici, s kraja 20 veka, moment impulsa je opisan jednim drugačijim matematičkim formalizmom. U ovom formalizmu, moment impulsa je diferencijalna forma Neterinog (Emi Neter) naelektrisanja povezanog sa invarijantnošću osobina fizičkog sistema na rotacije koordinatnog sistema. („naelektrisanje“ se ovde shvata mnogo apstraktnije nego u klasičnoj elektrodinamici. Ono je generator kontinualne (neprekidne) simetrije proučavanog fizičkog sistema. Kada sistem ima simetriju bilo koje vrste, teorema Emi Neter implicira postojanje konzervisane (one koja se održava) struje. Stvari koje „teku“ u ovoj struji zovu se „naelektrisanje“ i ono je generator grupe lokalne simetrije). Kao rezultat, moment impulsa nije konzervisan u zakrivljenom prostoru Ajnštajnove opšte relativnosti, osim ako se desi da je asimptotski invarijantan na rotacije. Za sistem tačkastih čestica bez ikakvog unutrašnjeg (sopstvenog) momenta impulsa, proizilazi da je:

$\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\wedge {\vec {p}}_{i}$

(Ovde je upotrebljen spoljašnji proizvod)

Moment impulsa u kvantnoj mehanici

U kvantnoj mehanici, moment impulsa je kvantovan, što znači da ne može da ima proizvoljnu vrednost i da se menja kontinualno, već dozvoljene vrednosti koje može da ima pripadaju diskretnom skupu. Moment impulsa subatomskih čestica, koji odgovara njihovom kretanju kroz prostor, je uvek celobrojni umnožak od $\hbar$ (Konstanta Će). Pored ovog spoljašnjeg momenta impulsa, pokazalo se da subatomske čestice poseduju još jedan stepen slobode koji je nazvan unutrašnji (sopstveni) moment impulsa ili spin. Spin jedne elemetarne čestice ima može da ima samo polucele vrednosti konstante $\hbar$, odnosno izražen je u jedinicama $\hbar /2$. Spinski moment impulsa postoji nezavisno od kretanja čestice.

Matematička formulacija

Matematički, moment impulsa, kao i sam impuls, u kvantnoj mehanici definiše se kao operator koji deluje na talasnu funkciju:

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}$

gde su r i p operatori položaja i impulsa, respektivno. Kvantitativne vrednosti momenta impulsa su svojstvene vrednosti ovog operatora.

Za pojedinačnu česticu bez naelektrisanja i neuračunavajući spin, operator momenta impulsa se u standardnoj formi zapisuje kao:

$\mathbf {L} =-i\hbar (\mathbf {r} \times \nabla ),$

gde je $\nabla$ operator gradijenta.

Klasična definicija momenta impulsa, kao ${\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}$ zavisi od operatora položaja i operatora brzine. Iz Hajzenbergovog principa neodređenosti poznato je da nije moguće za oba operatora istovremeno izmeriti njihove vrednosti sa proizvoljno velikom tačnošću. U skladu s time, postoje ograničenja i za kvantno-mehaničko merenje momenta impulsa neke čestice. Nije moguće istovremeno odrediti vrednosti sve tri komponente momenta impulsa, već najviše dve. S obzirom na prednosti koje će dati pri komutiranju, za jednu od tih komponenti uzima se kvadrat momenta impulsa ${\vec {L}}^{2}$ i jedna od komponenti momenta impulsa usmerenu duž jedne od osa koordinatnog sistema. Po konvenciji se uzima z komponenta, $L_{z}$ .

Komponente momenta impulsa imaju sledeće osobine:

$[L_{i},L_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}$

$\left[L_{i},L^{2}\right]=0$

$\left[L_{i},H\right]=0$.

Svojstvene vrednosti za kvadrat momenta impulsa i njegovu z komponentu su:

$\ L^{2}=\hbar ^{2}l(l+1)$

$\ L_{z}=m\hbar$

gde je l orbitalni a m magnetni kvantni broj.

Sferne koordinate

Operatori momenta impulsa obično se pojavljuju prilikom rešavanja problema sferne simetričnosti u sfernim koordinatama. Tada je moment impulsa u prostoru predstavljen kao:

$\ {\frac {-1}{\hbar ^{2}}}L^{2}={\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}$

Kada nađemo rešenja svojstvenih stanja ovog operatora dobijamo

$L^{2}|l,m\rangle ={\hbar }^{2}l(l+1)|l,m\rangle$

$L_{z}|l,m\rangle =\hbar m|l,m\rangle$

gde su

$\langle \theta ,\phi |l,m\rangle =Y_{l,m}(\theta ,\phi )$

sferni harmonici.

Moment impulsa u elektrodinamici

Kada se opisuje kretanje naelektrisanih čestica u prisustvu elektromagnetskog polja, kanonički impuls p nije kalibraciono invarijantan (engl. gauge invariant). Kao posledica toga, kanonički moment impulsa ${\vec {L}}={\vec {r}}\times {\vec {p}}$ takođe nije kalibraciono invarijantan. Umesto toga, impuls koji je fizički (nije kanonički), tzv. „kinetički impuls“ zadat je sa:

${\vec {p}}-{\frac {e{\vec {A}}}{c}}$

gde je e - naelektrisanje, c - brzina svetlosti i A je vektorski potencijal elektromagnetskog polja. Tako, na primer, kalibraciono (gejdž) invarijantni Hamiltonijan naelektrisane čestice mase m u elektromagnetskom polju je tada

$H={\frac {1}{2m}}\left({\vec {p}}-{\frac {e{\vec {A}}}{c}}\right)^{2}+e\phi$

gde je $\phi$ skalarni potencijal. Ovo je Hamiltonijan koji daje Lorencovu silu. Kalibraciono-invarijantni moment impulsa, ili “kinetički moment impulsa” dat je sa :

${\vec {K}}={\vec {r}}\times \left({\vec {p}}-{\frac {e{\vec {A}}}{c}}\right)$

Povezivanje ovoga sa kvantnom mehanikom biće diskutovano u članku o kanoničkim komutacionim relacijama.

Literatura

• E. U. Condon and G. H. Shortley, (1935). The Theory of Atomic Spectra. Cambridge at the University Press. ISBN 978-0-521-09209-8.  See chapter 3.
• Edmonds, A.R., (1957). Angular Momentum in Quantum Mechanics. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-07912-7. CS1 одржавање: Вишеструка имена: списак аутора (веза).
• Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Physics for Scientists and Engineers (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-534-40842-8. 
• Tipler, Paul (2004). Physics for Scientists and Engineers: Mechanics, Oscillatiions and Waves, Thermodynamics (5th ed.). W. H. Freeman. ISBN 978-0-7167-0809-4. 

Spoljašnje veze

• Konzervacija momenta impulsa Arhivirano na sajtu Wayback Machine (14. decembar 2010) — stranica iz jedne onlajn knjige