RC filtar

Otporno-kondenzatorsko kolo (RC kolo, RC filtri ili RC mreža), je električno kolo sastavljeno od otpornika i kondenzatora vođen naponom ili strujnim izvorom. Prvi red RC kola sastoji se od jednog otpornika i jednog kondenzatora i ono je najjednostavniji tip RC kola.

RC kola mogu da se koriste za filtriranje signala blokiranjem određene frekvencije i propuštanjem druge. Filteri se dele na:

• propusnike niskih učestanosti (propuštaju signale niske učestanosti, dok signale visoke učestanosti prigušuju)
• propusnike visokih učestanosti (propuštaju signale visoke učestanosti, dok signale niske učestanosti prigušuju)
• propusnike opsega učestanosti (propuštaju signale određenog opsega, dok signale van tog opsega prigušuju)
• nepropusnike opsega učestnosti (prigušuju signale određenog opsega, dok signale van tog opsega propuštaju)

Uvod

Postoje tri osnovna, linearna pasivna nesrećno stavljeni analogni sklop komponente: otpornici (R), kondenzatori (C), induktori (L). Oni se mogu kombinovati u RC kolu, RL kolo, LC kolo, i RLC kola, sa skraćenicama koje ukazuju koje komponente se koriste. Ta kola, među njima, pokazuju veliki broj važnih tipova ponašanja koji su od fundamentalnog značaja za mnoge analogne elektronike. Konkretno, oni su u stanju da deluju kao pasivni filtri. Ovaj članak razmatra RC kolo, kako u seriji i paralelne oblika, kao što je prikazano na slici ispod.

Ovaj članak se oslanja na znanje o složenom impedansama predstavljenim kondenzatorima i na poznavanju frekvencije domena predstavljanja signala.

Prirodni odgovor

Najjednostavnije RC kolo je kondenzator i otpornik u seriji. Kada se kolo sastoji od samo jednog optuženog kondenzatora i otpornika, kondenzator će ispuniti svoju akumuliranu energiju kroz otpornik. Napon preko kondenzatora, koji je vremenski zavisan, može se naći pomoću Kirhofovog zakona, gde struja kroz kondenzator mora biti jednaka struji kroz otpornik. Ovo rezultuje u linearne diferencijalne jednačine

$C{\frac {dV}{dt}}+{\frac {V}{R}}=0$.

Rešavanje ove jednačine za V daje formulu za eksponencijalni raspad:

$V(t)=V_{0}e^{-{\frac {t}{RC}}}\ ,$

Gde V₀ je kondenzator napon u trenutku t = 0. Vreme potrebno da napon padne na ${\frac {V_{0}}{e}}$ se zove RC vremenska konstanta i daje

$\tau =RC\ .$

Kompleks impedansa

Kompleks impedansa, Z_C (u ohm) kondenzatora kapacitivnosti sa C (u farada) je

$Z_{C}={\frac {1}{sC}}$

U kompleks frekvencija s je, generalno, kompleksni broj,

$s\ =\ \sigma +j\omega$

gde

• j predstavlja imaginarna jedinica:

$j^{2}=-1$

• $\sigma \$je eksponencijalni raspad konstanta (u radijanima u sekundi), i
• $\omega \$ je sinusna ugaona frekvencija (takođe u radijanima u sekundi).

Sinusoidalno ravnotežno stanje

Sinusoidalno ustaljeno stanje je poseban slučaj u kojem se ulazni napon sastoji od čiste sinusoide (bez eksponencijalnog raspadanja). Kao rezultat toga,

$\sigma \ =\ 0$

i evaluacija S postaje

$s\ =\ j\omega$

Serija kolo

RC kolo

Prikazivanjem kolo kao naponskog razdelnika, napon preko kondenzatora je:

$V_{C}(s)={\frac {1/Cs}{R+1/Cs}}V_{in}(s)={\frac {1}{1+RCs}}V_{in}(s)$

i napon na otporniku je:

$V_{R}(s)={\frac {R}{R+1/Cs}}V_{in}(s)={\frac {RCs}{1+RCs}}V_{in}(s)$.

Transfer funkcija

Funkcija prenosa od ulaznog napona do napona na kondenzatoru je

$H_{C}(s)={V_{C}(s) \over V_{in}(s)}={1 \over 1+RCs}$.

Slično tome, funkcija prenosa od ulaza do napona na otporniku je

$H_{R}(s)={V_{R}(s) \over V_{in}(s)}={RCs \over 1+RCs}$.

Polovi i nule

Obe funkcije prenosa imaju jedan pol se nalazi na

$s=-{1 \over RC}$ .

Pored toga, funkcija prenosa za otpornike ima nultu koja se nalazi na poreklu.

Dobitak i faza

Veličina dobitaka preko dve komponente su:

$G_{C}=|H_{C}(j\omega )|=\left|{\frac {V_{C}(j\omega )}{V_{in}(j\omega )}}\right|={\frac {1}{\sqrt {1+\left(\omega RC\right)^{2}}}}$

i

$G_{R}=|H_{R}(j\omega )|=\left|{\frac {V_{R}(j\omega )}{V_{in}(j\omega )}}\right|={\frac {\omega RC}{\sqrt {1+\left(\omega RC\right)^{2}}}}$,

i fazhi uglovi su:

$\phi _{C}=\angle H_{C}(j\omega )=\tan ^{-1}\left(-\omega RC\right)$

i

$\phi _{R}=\angle H_{R}(j\omega )=\tan ^{-1}\left({\frac {1}{\omega RC}}\right)$.

Ovi izrazi zajedno može se zameniti u uobičajnom izrazu za fazorske predstavlja izlaz:

$V_{C}\ =\ G_{C}V_{in}e^{j\phi _{C}}$

$V_{R}\ =\ G_{R}V_{in}e^{j\phi _{R}}$.

Struja

Struja u kolu je svuda ista, jer kolo je u seriji:

$I(s)={\frac {V_{in}(s)}{R+{\frac {1}{Cs}}}}={Cs \over 1+RCs}V_{in}(s)$

Impulsni odziv

Impulsni odziv za svaki napon je inverzna Laplasove transformacije od odgovarajuće funkcije prenosa. On predstavlja odgovor na kola ulaznog napona koji se sastoji od impulsa ili Dirak delta funkcije. Impulsni odziv za kondenzator napona je

$h_{C}(t)={1 \over RC}e^{-t/RC}u(t)={1 \over \tau }e^{-t/\tau }u(t)$

Gde u(t) je Hevisajda funkcija korak i

$\tau \ =\ RC$

je vremenska konstanta. Slično tome, impulsni odziv za otpornik napona je

$h_{R}(t)=\delta (t)-{1 \over RC}e^{-t/RC}u(t)=\delta (t)-{1 \over \tau }e^{-t/\tau }u(t)$

gde δ(t) je Dirak delta funkcija

Razmatranja frekvencijskog domena

To su frekvencija domena izrazi. Analiza njih će pokazati koje će frekvencije kola (ili filteri) proći i odbiti. Ova analiza počiva na razmatranje šta se dešava sa ovim dobitaka kao frekvencija postaje veoma velika i veoma mala. Kao $\omega \to \infty$:

$G_{C}\to 0$

$G_{R}\to 1$.

kao$\omega \to 0$:

$G_{C}\to 1$

$G_{R}\to 0$.

To pokazuje da, ako se uzima izlaz preko kondenzatora, visoke frekvencije su oslabljene (kratkospojeni na terenu) i niske frekvencije su prošle. Dakle, kolo se ponaša kao niskopropusni filter. Ako, međutim, izlaz je preko otpornika, visoke frekvencije su prošli i niske frekvencije su oslabljeni (od kondenzatora blokira signal kao njegova frekvencija teži 0). U ovoj konfiguraciji, kolo se ponaša kao visoko-pass filter. Opseg frekvencija koji filter prolazi se zove njegova propusnog opsega. Tačka u kojoj filter slabi signal do polovine svoje nefiltrirani moći se naziva njegova Granična frekvencija. Ovo zahteva da dobitak od kola da se svede na

$G_{C}=G_{R}={\frac {1}{\sqrt {2}}}$.

Rešavanje jednačina prinose

$\omega _{c}={\frac {1}{RC}}$

ili

$f_{c}={\frac {1}{2\pi RC}}$

što je frekvencija da će filter ublaži do polovine svoje prvobitne moći. Jasno, faze takođe zavisiti frekvenciji, iako ovaj efekat je manje zanimljiva generalno od varijacija gain. Kao $\omega \to 0$:

$\phi _{C}\to 0$

$\phi _{R}\to 90^{\circ }=\pi /2^{c}$.

kao $\omega \to \infty$:

$\phi _{C}\to -90^{\circ }=-\pi /2^{c}$

$\phi _{R}\to 0$

Dakle, na DC (0 Hz), kondenzator napon je u fazi sa naponom signala dok otpornik napon ga vodi od 90 stepeni. Kao frekvencija povećava, kondenzator napon dolazi da imaju a 90° zaostaju u odnosu na signala i otpornik napon dolazi da bude u-fazi sa signalom-

Razmatranja vremenskog domena

Ovaj odeljak se oslanja na znanja e, prirodna logaritamska konstanta.

Najjednostavniji način da se izvede ponašanje domena vreme je da koristite Laplasove transformacije s tih izraza za $V_{C}$ and $V_{R}$ data gore. Ovo efektivno pretvara $j\omega \to s$. Pod pretpostavkom ulazni korak (tj. . $V_{in}=0$ pre $t=0$ nakon toga $V_{in}=V$ posle toga):

$V_{in}(s)=V{\frac {1}{s}}$

$V_{C}(s)=V{\frac {1}{1+sRC}}{\frac {1}{s}}$

and

$V_{R}(s)=V{\frac {sRC}{1+sRC}}{\frac {1}{s}}$.

kondenzator napona korak-odgovor

otpornika napon korak-odgovor

Parcijalna frakcija ova ekspanzija i inverzna Laplasove transformacije prinosa:

$\,\!V_{C}(t)=V\left(1-e^{-t/RC}\right)$

$\,\!V_{R}(t)=Ve^{-t/RC}$.

Ove jednačine su za izračunavanje napona preko kondenzatora i otpornika odnosno dok je kondenzator punjenja, za pražnjenje, jednačine su obrnuto. Ove jednačine mogu se napisati u smislu punjenja i struja, koristeći relacije C=Q/V and V=IR (videti Omov zakon). Tako, napon preko kondenzatora teži V kao vreme prolazi, a napon preko otpornika teži 0, kao što je prikazano na slikama. Ovo je u skladu sa intuitivnim tačke da kondenzator će biti punjenje od napona napajanja kako vreme prolazi, a na kraju će biti u potpunosti napunjena. Ove jednačine pokazuju da serija RC kolo ima vremenska konstanta, obično označeno $\tau =RC$ je vreme koje je potrebno naponu preko komponente za bilo porastu (preko Cg ) ili pad (preko R) u roku od $1/e$ svoje krajnje vrednosti. To , $\tau$ je vreme potrebno $V_{C}$ da dostigne $V(1-1/e)$ i $V_{R}$ da dostigne $V(1/e)$. Stopa promene je frakciona $\left(1-{\frac {1}{e}}\right)$ po $\tau$. Tako, idući od $t=N\tau$ do $t=(N+1)\tau$, napon će se preselili oko 63,2% od puta iz njegovog nivoa u $t=N\tau$ ka svojoj konačnoj vrednosti. Dakle, C će se naplaćivati na oko 63,2%, nakon $\tau$, a u suštini potpuno napunjena (99,3%), nakon oko $5\tau$. Kada je zamenjen izvor napona sa kratkog spoja, sa potpuno napunjenom C, napon preko C opada eksponencijalno sa t iz $V$ ka 0. C će biti otpušten na oko 36,8%, nakon $\tau$, a u suštini potpuno ispražnjene (0,7%), nakon oko $5\tau$. Imajte na umu da struja, $I$, u kolu ponaša kao naponom preko R čini, preko Omov zakon. Ovi rezultati mogu takođe biti izvedena rešavanjem diferencijalna jednačina i opisuje kolo:

${\frac {V_{in}-V_{C}}{R}}=C{\frac {dV_{C}}{dt}}$

i

$\,\!V_{R}=V_{in}-V_{C}$.

Prvi jednačina je rešena korišćenjem integrativni faktor i drugi prati lako; rešenja su potpuno isti kao oni dobijeni putem Laplasa transformiše.

Integrator

Uzimajući u obzir da izlaz preko kondenzatora navisokim frekvencije tj

$\omega \gg {\frac {1}{RC}}$.

To znači da kondenzator neima dovoljno vremena da se napuni, pa je zbog toga tako njegov napon vrlo mali. Tako je ulazni napon približno jednak naponu na otporniku. Da bi se to videlo, pogledati izraz za $I$ dat iznad:

$I={\frac {V_{in}}{R+1/j\omega C}}$

ali imajući na umu da učestalost stanje opisano sredstva da

$\omega C\gg {\frac {1}{R}}$

Tako da

$I\approx {\frac {V_{in}}{R}}$ što je zapravo predstavljaOmov zakon.

Sada,

$V_{C}={\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}Idt$

Tako da

$V_{C}\approx {\frac {1}{RC}}\int _{0}^{t}V_{in}dt$,

što je integrator preko kondenzatora.

Diferencijator

Razmislite izlaz preko otpornika na malim frekvencije, tj.

$\omega \ll {\frac {1}{RC}}$.

To znači da kondenzator ima vremena da naplati sve do njegova napon je skoro jednak naponu na izvoru. S obzirom na izraz za $I$ opet, kada

$R\ll {\frac {1}{\omega C}}$,

Tako da

$I\approx {\frac {V_{in}}{1/j\omega C}}$

$V_{in}\approx {\frac {I}{j\omega C}}=V_{C}$

sada

$V_{R}=IR=C{\frac {dV_{C}}{dt}}R$

$V_{R}\approx RC{\frac {dV_{in}}{dt}}$

što je diferencijacija preko otpornika. Preciznije se integracija i diferencijacija može postići postavljanjem otpornika i kondenzatora po potrebi na ulazu i povratnoj petlji operacionog pojačavača.

Paralelno kolo

Uporedo RC kolo

Paralelno RC kolo je generalno manje interesantan od serijskog kola. To je uglavnom zato što je izlazni napon $V_{out}$ jednak ulaznoom naponu $V_{in}$. Rezultat toga je da ovo kolo ne deluje kao filter na ulazni signal, osim ako se napaja iz strujnog izvora.

$I_{R}={\frac {V_{in}}{R}}\,$

i

$I_{C}=j\omega CV_{in}\,$. Ovo pokazuje da je kondenzator struja 90° van faze sa otpornika (i izvor) struje. Alternativno, vladajuće diferencijalne jednačine mogu se koristiti:

$I_{R}={\frac {V_{in}}{R}}$

i

$I_{C}=C{\frac {dV_{in}}{dt}}$.

Kada hranio strane strujni izvor, prenos funkcija paralelni RC kola je:

${\frac {V_{out}}{I_{in}}}={\frac {R}{1+sRC}}$.

Vidi još

• RL kolo
• LC kolo
• RLC kolo
• Električna mreža