Еудокс

Еудокс
Лични подаци
Датум рођења	408. п. н. е.
Место рођења	Книд, Мала Азија (данас Турска)
Датум смрти	355. п. н. е.
Место смрти	Книд, Мала Азија
Научни рад
Поље	математика астрономија
Познат по	методи ексхаустије

Еудокс са Книда (грч. Εὔδοξος ὁ Κνίδιος, 408. п. н. е. - 355. п. н. е.) је био грчки математичар, астроном, и научник, један од Платонових ученика. Пошто ниједно његово дело није сачувано, до сазнања о њему дошло се посредно, преко каснијих извора.

Творац је инвентивног космичког система (хомоцентричне сфере), који су касније дорадили Калипос и Аристотел да би објаснили промене у положају сазвежђа, помоћу комбинација кружних униформних кретњи, у складу са Платоновим идејама. У математици му се приписује да је открио формуле помоћу којих је могуће израчунати запремину пирамиде и купе. Сва његова дела су изгубљена, мада су неки фрагменти сачувани у Хипарховом коментару на Аратову песму о астрономији. Сферика Теодосија из Битиније може бити заснована на делу Евдокса.

Живот

Еудокс је рођен и умро у Книду (што се такође пише Книдос), који је био град на југозападној обали Мале Азије. Године Еудоксовог рођења и смрти нису у потпуности познате, али распон је могао бити око 408 — око 355. п. н. е., или око 390 — око 337. п. н. е. Његово име Еудокус значи „почашћен“ или „доброг угледа“ (εὔδοξος, од eu „добар“ и doxa „мишљење, веровање, слава“). То је аналогно латинском називу Benedictus.

Отац Еудоксов, Есхин из Книда, волео је да гледа звезде ноћу. Евдокс је прво отпутовао у Тарент да учи код Архита, од кога је учио математику. Док је био у Италији, Еудокс је посетио Сицилију, где је студирао медицину код Филистона.

Са 23 године отпутовао је са лекаром Теомедоном — за кога су (према Диогену Лаерцију) неки веровали да му је љубавник — у Атину да учи са Сократовим следбеницима. На крају је неколико месеци похађао предавања Платона и других филозофа, али су се због неслагања посвађали. Еудокс је био прилично сиромашан и могао је да приушти само стан у Пиреју. Да би присуствовао Платоновим предавањима, сваки дан је ходао 7 mi (11 km) у сваком правцу. Због његовог сиромаштва, његови пријатељи су прикупили довољна средства да га пошаљу у Хелиополис, Египат, да настави студије астрономије и математике. Тамо је живео 16 месеци. Из Египта је затим отпутовао на север у Кизик, који се налазио на јужној обали Мраморног мора, Пропонтиде. Отпутовао је на југ до Маусоловог двора. Током својих путовања окупио је многе своје ученике.

Око 368. п. н. е. Евдокс се са својим ученицима вратио у Атину. Према неким изворима, око 367. године преузео је чело академије током Платоновог периода у Сиракузи, и предавао Аристотелу. На крају се вратио у свој родни Книд, где је служио у градској скупштини. Док је био у Книду, саградио је опсерваторију и наставио да пише и држи предавања о теологији, астрономији и метеорологији. Имао је једног сина Аристагора и три ћерке Актиду, Филтиду и Делфиду.

У математичкој астрономији, његова слава проистиче из увођења концентричних сфера и његовог раног доприноса разумевању кретања планета.

Његов рад на пропорцијама показује увид у реалне бројеве; омогућава ригорозно третирање непрекидних величина, а не само целих или чак рационалних бројева. Када су га Тартаглија и други реафирмисали у 16. веку, постао је основа за квантитативни рад у науци, и инспирисао је рад Ричарда Дедекинда.

У његову част названи су кратери на Марсу и Месецу. По њему је названа и алгебарска крива (Еудоксова кампила).

Математика

Део јавног мњења сматра Еудокса највећим од класичних грчких математичара, и у целој антици другим после Архимеда. Еудокс је вероватно био извор за већину књиге V Еуклидових елемената. Он је ригорозно развио Антифонов метод исцрпљивања, претечу интегралног рачуна који је на мајсторски начин користио Архимед у наредном веку. Примењујући тај метод, Еудокс је доказао такве математичке тврдње као што су: површине кругова су једна према другој пропорционалне као квадрати њихових полупречника, запремине сфера су једна према другој пропорционалне као кубови њихових полупречника, запремина пирамиде је једна трећина запремина призме са истом основом и висином, а запремина конуса је једна трећина запремине одговарајућег цилиндра.

Еудокус је увео идеју неквантификоване математичке магнитуде да би описао и радио са непрекидним геометријским ентитетима као што су линије, углови, површине и запремине, чиме се избегава употреба ирационалних бројева. Чинећи то, он је преокренуо питагорејски нагласак на броју и аритметици, фокусирајући се уместо тога на геометријске концепте као основу ригорозне математике. Неки питагорејци, попут Евдоксовог учитеља Архита, веровали су да само аритметика може да пружи основу за доказе. Подстакнут потребом да разуме и оперише са несамерљивим величинама, Еудокс је успоставио оно што је можда била прва дедуктивна организација математике на основу експлицитних аксиома. Еудоксова промена у фокусу подстакла је поделу у математици која је трајала две хиљаде година. У комбинацији са грчким интелектуалним ставом незаинтересованим за практичне проблеме, уследило је значајно повлачење од развоја техника у аритметици и алгебри.

Питагорејци су открили да дијагонала квадрата нема заједничку јединицу мере са страницама квадрата; ово је чувено откриће да се квадратни корен од 2 не може изразити као однос два цела броја. Ово откриће је најавило постојање несамерљивих величина изван целих бројева и рационалних разломака, али је у исто време довело у питање идеју мерења и прорачуна у геометрији као целини. На пример, Еуклид пружа разрађен доказ Питагорине теореме (Елементи I.47), користећи сабирање површина и тек много касније (Елементи VI.31) једноставнији доказ из сличних троуглова, који се ослања на односе сегмената правих.

Древни грчки математичари нису рачунали помоћу количина и једначина као ми данас, већ су уместо тога користили пропорционалности да изразе однос између величина. Дакле, однос две сличне величине није био само бројчана вредност, како ми данас о томе размишљамо; однос две сличне величине био је примитиван однос између њих.

Еудокс је успео да поврати поверење у употребу пропорционалности дајући запањујућу дефиницију значења једнакости између два односа. Ова дефиниција пропорције чини тему Еуклидове Књиге V.

У дефиницији 5 Еуклидове Књиге V наводи се:

Каже се да су величине у истом односу, прва према другој и трећа према четвртој, када, ако се узме било који умножак од првог и трећег, и било који умножак другог и четвртог, претходни умношци подједнако се премашују, и подједнако су једнаки, или подједнако су мањи, каснијим умношцима респективно узетим одговарајућим редоследом.

Користећи модерну нотацију, ово се појашњава на следећи начин. Ако се узму четири величине: a, b, c, и d, онда прва и друга имају однос $a/b$; слично томе, трећа и четврта имају однос $c/d$.

Сада се може рећи да се за $a/b=c/d$ чини следеће: За било која два произвољна цела броја, m и n, формирају умношци m·a and m·c првог и трећег; исто тако формирају умношци n·b и n·d другог и четвртог.

Ако се деси да је m·a > n·b, онда мора постојати m·c > n·d. Ако се деси да је m·a = n·b, онда мора постојати m·c = n·d. Коначно, ако се деси да је m·a < n·b, онда мора постојати m·c < n·d.

Може се приметити да дефиниција зависи од поређења сличних величина m·a и n·b, и сличних величина m·c и n·d, и не зависи од постојања заједничке јединице мерења ових величина.

Сложеност дефиниције одражава дубоку концептуалну и методолошку иновацију која је укључена. То подсећа се на чувени пети Еуклидов постулат о паралелама, који је опширнији и сложенији у свом тексту од осталих постулата.

Еудоксијска дефиниција пропорционалности користи квантификатор, „за сваки...“ да би искористила бесконачно много и мало, баш као што то чине модерне епсилон-делта дефиниције границе и континуитета.

Поред тога, Архимедово својство наведено као дефиниција 4 Еуклидове књиге V оригинално није Архимедова заслуга већ Еудоксова.

Литература

• Ball, Walter William Rouse (1908). A Short Account of the History of Mathematics (4th изд.). Dover Publications. ISBN 9780486206301. 
• De Santillana, G. (1968). „Eudoxus and Plato: A Study in Chronology”. Reflections on Men and Ideas. Cambridge, MA: MIT Press. 
• Evans, James (1998). The History and Practice of Ancient Astronomy. Oxford University Press. ISBN 0-19-509539-1. OCLC 185509676. 
• Huxley, GL (1980). Eudoxus of Cnidus p. 465-7 in: the Dictionary of Scientific Biography, volume 4. 
• Huxley, G. L. (1963). „Eudoxian Topics”. Greek, Roman, and Byzantine Studies. 4: 83—96. 
• Knorr, Wilbur Richard (1978). „Archimedes and the Pre-Euclidean Proportion Theory”. Archives Internationales d'Histoire des Sciences. 28: 183—244. 
• Knorr, Wilbur R. (1986). The Ancient tradition of geometric problems. Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-3148-8. 
• Lasserre, François (1966) Die Fragmente des Eudoxos von Knidos (de Gruyter: Berlin)
•  Laërtius, Diogenes (1925). „Pythagoreans: Eudoxus”. Lives of the Eminent Philosophers. 2:8. Превод: Hicks, Robert Drew (Two volume изд.). Loeb Classical Library. 
• Lloyd, GER (1970). Early Greek Science: Thales to Aristotle. W.W. Norton. ISBN 9780393005837. 
• Manitius, C. (1894) Hipparchi in Arati et Eudoxi Phaenomena Commentariorum Libri Tres (Teubner)
• Neugebauer, O. (1975). A history of ancient mathematical astronomy. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-06995-X. 
• Van der Waerden, B. L. (1988). Science Awakening (5th изд.). Leiden: Noordhoff. 

Спољашње везе

• Working model and complete explanation of the Eudoxus's Spheres
• Eudoxus (and Plato) Архивирано на сајту Wayback Machine (16. август 2018), a documentary on Eudoxus, including a description of his planetary model
• Dennis Duke, "Statistical dating of the Phaenomena of Eudoxus", DIO, volume 15 see pages 7 to 23
• Eudoxus of Cnidus Britannica.com
• Eudoxus of Cnidus Архивирано на сајту Wayback Machine (23. јул 1997) Donald Allen, Professor, Texas A&M University
• Eudoxos of Knidos (Eudoxus of Cnidus): astronomy and homocentric spheres Henry Mendell, Cal State U, LA
• Herodotus Project: Extensive B+W photo essay of Cnidus
• Models of Planetary Motion—Eudoxus, Craig McConnell, Ph.D., Cal State, Fullerton
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. „Еудокс”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. 
• The Universe According to Eudoxus (Java applet)