Комутативност

Појам комутативности се најчешће везује за бинарне математичке операције код којих редослед операнада не утиче на резултат операције. То је основно својство многих бинарних операција и од њега зависе многи математички докази. Најпознатије као име својства које на пример наводи да је „3 + 4 = 4 + 3” или „2 × 5 = 5 × 2”. Ово својство се такође може користити у напреднијим подешавањима. Име је потребно јер постоје операције, као што су дељење и одузимање, које га немају (на пример, „3 − 5 ≠ 5 − 3“); такве операције нису комутативне, те се називају некомутативним операцијама. Идеја да су једноставне операције, као што су множење и сабирање бројева, комутативне је много година имплицитно претпостављана. Стога ово својство није добило име све до 19. века, када је математика почела да се формализује. Одговарајуће својство постоји за бинарне релације; за бинарну релацију се каже да је симетрична ако се релација примењује без обзира на редослед њених операнада; на пример, једнакост је симетрична пошто су два једнака математичка објекта једнака без обзира на њихов редослед.

Математичке дефиниције

Бинарна операција $*$ на скупу S је комутативна ако је

$$x*y=y*x\qquad {\mbox{for all }}x,y\in S.$$

Операција која не задовољава горњу особину назива се некомутативном.

Може се рећи да је x комутативно са y или да су x и y комутативни у погледу $*$ ако је

$$x*y=y*x.$$

Другим речима, операција је комутативна ако се сваки пар елемената комутативан.

Бинарна функција $f\colon A\times A\to B$ се понекад назива комутативном ако је

$$f(x,y)=f(y,x)\qquad {\mbox{ за свако }}x,y\in A.$$

Таква функција се чешће назива симетричном функцијом.

Пример

Операција комутативности.

Рецимо да је дефинисана бинарна операција $\otimes :M^{2}\rightarrow X$ тако да за $\forall a,b\in M$ важи:

$a\otimes b=b\otimes a$

Онда је ова операција према дефиницији комутативна.

Уопштење

Овде се може направити и уопштење за $M^{n}\,$, $n\in N\land n\geq 2$. Операција $\otimes :M^{n}\rightarrow X$ је комутативна ако за сваку $(a_{1},...,a_{n})\in M^{n}$ и сваку њену пермутацију $(a_{\sigma (1)},...,a_{\sigma (n)})\,$ важи:

$(a_{1},...,a_{n})=(a_{\sigma (1)},...,a_{\sigma (n)})\,$ тј.

$a_{1}\otimes a_{2}\otimes \dots \otimes a_{n}=a_{\sigma (1)}\otimes a_{\sigma (2)}\otimes \dots \otimes a_{\sigma (n)}$

Историја и етимологија

Прва позната употреба термина била је у француском часопису објављеном 1814. године

Записи о имплицитној употреби комутативног својства сежу у давна времена. Египћани су користили комутативно својство множења да би поједноставили рачунарске производе. Познато је да је Еуклид преузео комутативно својство множења у својој књизи Елементи. Формална употреба комутативног својства настала је крајем 18. и почетком 19. века, када су математичари почели да раде на теорији функција. Данас је комутативно својство добро познато и основно својство које се користи у већини грана математике.

Прва забележена употреба термина комутативно била је у мемоарима Франсоа Сервоа из 1814. године, који је користио реч комутативни када је описивао функције које имају оно што се данас зове комутативно својство. Реч је комбинација француске речи commuter што значи „заменити или променити” и суфикса -ative што значи „тежња ка”, тако да реч дословно значи „тежња да се замени или промени”. Термин се тада појавио на енглеском 1838. године у чланку Данкана Фаркухарсона Грегорија под насловом „О стварној природи симболичке алгебре“ објављеном 1840. године у часопису Transactions of the Royal Society of Edinburgh.

Пропозициона логика

Правило замене

У истинитосно-функционалној пропозиционој логици, комутација или комутативност се односи на два важећа правила замене. Правила дозвољавају транспоновање пропозиционих променљивих унутар логичких израза у логичким доказима. Правила су:

$(P\lor Q)\Leftrightarrow (Q\lor P)$

и

$(P\land Q)\Leftrightarrow (Q\land P)$

где је „$\Leftrightarrow$” металогички симбол који представља „може се заменити у доказу са”.

Истиносно функционални спојеви

Комутативност је својство неких логичких спојева истинито функционалне пропозиционе логике. Следеће логичке еквиваленције показују да је комутативност својство одређених веза. Следе истинитосно-функционалне таутологије.

Комутативност конјункције

$(P\land Q)\leftrightarrow (Q\land P)$

Комутативност дисјункције

$(P\lor Q)\leftrightarrow (Q\lor P)$

Комутативност импликације (назива се и закон пермутације)

$(P\to (Q\to R))\leftrightarrow (Q\to (P\to R))$

Комутативност еквиваленције (назива се и потпуни комутативни закон еквиваленције)

$(P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow (Q\leftrightarrow P)$

Теорија скупова

У теорији група и скупова, многе алгебарске структуре се називају комутативним када одређени операнди задовоље комутативно својство. У вишим гранама математике, као што су анализа и линеарна алгебра, комутативност добро познатих операција (као што су сабирање и множење на реалним и комплексним бројевима) се често користи (или имплицитно претпоставља) у доказима.

Математичке структуре и комутативност

• Комутативна полугрупа је скуп који има тоталну, асоцијативну и комутативну операцију.
• Ако операција додатно има елемент идентитета, постоји комутативни моноид.
• Абелова група, или комутативна група је група чија је групна операција комутативна.
• Комутативни прстен је прстен чије је множење комутативно. (Сабирање у прстену је увек комутативно.)
• У пољу су и сабирање и множење комутативни.

Види још

• Асоцијативност
• Антикомутативност
• Дистрибутивност

Литература

• Ayres, Frank (1965). Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra (1st изд.). McGraw-Hill. ISBN 9780070026551. 
• Axler, Sheldon (1997). Linear Algebra Done Right, 2e. Springer. ISBN 0-387-98258-2. 
• Copi, Irving M.; Cohen, Carl (2005). Introduction to Logic (12th изд.). Prentice Hall. ISBN 9780131898349. 
• Gallian, Joseph (2006). Contemporary Abstract Algebra (6e изд.). Houghton Mifflin. ISBN 0-618-51471-6. 
• Goodman, Frederick (2003). Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry (2e изд.). Prentice Hall. ISBN 0-13-067342-0. 
• Hurley, Patrick J.; Watson, Lori (2016). A Concise Introduction to Logic (12th изд.). Cengage Learning. ISBN 978-1-337-51478-1. 
• Lumpkin, B. (1997). „The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt — A Response To Robert Palter” (PDF) (Unpublished manuscript). Архивирано из оригинала (PDF) 13. 7. 2007. г. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Gay, Robins R.; Shute, Charles C. D. (1987). The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. British Museum. ISBN 0-7141-0944-4. 
• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Commutativity”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Krowne, Aaron, Commutative at PlanetMath.org., Accessed 8 August 2007.
• Weisstein, Eric W. „Commute”. MathWorld. , Accessed 8 August 2007.
• „Yark”.  Examples of non-commutative operations at PlanetMath.org., Accessed 8 August 2007
• O'Conner, J.J.; Robertson, E.F. „History of real numbers”. MacTutor. Приступљено 8. 8. 2007. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Cabillón, Julio; Miller, Jeff. „Earliest Known Uses Of Mathematical Terms”. Приступљено 22. 11. 2008. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• O'Conner, J.J.; Robertson, E.F. „biography of François Servois”. MacTutor. Архивирано из оригинала 02. 09. 2009. г. Приступљено 8. 8. 2007. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Brown, Frank Markham (2003), Boolean Reasoning: The Logic of Boolean Equations, 1st edition, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA. 2nd edition, Dover Publications, Mineola, NY.
• Chang, C.C. and Keisler, H.J. (1973), Model Theory, North-Holland, Amsterdam, Netherlands.
• Kohavi, Zvi (1978), Switching and Finite Automata Theory, 1st edition, McGraw–Hill, 1970. 2nd edition, McGraw–Hill, 1978.
• Korfhage, Robert R. (1974), Discrete Computational Structures, Academic Press, New York, NY.
• Lambek, J. and Scott, P.J. (1986), Introduction to Higher Order Categorical Logic, Cambridge University Press, Cambridge, UK.
• Mendelson, Elliot (1964), Introduction to Mathematical Logic, D. Van Nostrand Company.
• Hofstadter, Douglas (1979). Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid. Basic Books. ISBN 978-0-465-02656-2. 
• Klement, Kevin C. (2006), "Propositional Logic", in James Fieser and Bradley Dowden (eds.), Internet Encyclopedia of Philosophy, Eprint.
• Formal Predicate Calculus, contains a systematic formal development along the lines of Alternative calculus
• forall x: an introduction to formal logic, by P.D. Magnus, covers formal semantics and proof theory for sentential logic.
• Fraleigh, John B. (1976), A First Course in Abstract Algebra (2nd изд.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1 
• Hall Jr., Marshall (1959), The Theory of Groups, New York: Macmillan 
• Hardy, Darel W.; Walker, Carol L. (2002), Applied Algebra: Codes, Ciphers and Discrete Algorithms, Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, ISBN 0-13-067464-8 
• Rotman, Joseph J. (1973), The Theory of Groups: An Introduction (2nd изд.), Boston: Allyn and Bacon 
• Attila Nagy (2001). Special Classes of Semigroups. Springer. ISBN 978-0-7923-6890-8
• Howie, John M. (1995), Fundamentals of Semigroup Theory, London Mathematical Society Monographs. New Series, 12, Oxford: Clarendon Press, ISBN 0-19-851194-9, Zbl 0835.20077 
• Jacobson, Nathan (1951), Lectures in Abstract Algebra, I, D. Van Nostrand Company, ISBN 0-387-90122-1 
• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 1 (2nd изд.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1 
• Kilp, Mati; Knauer, Ulrich; Mikhalev, Alexander V. (2000), Monoids, acts and categories. With applications to wreath products and graphs. A handbook for students and researchers, de Gruyter Expositions in Mathematics, 29, Berlin: Walter de Gruyter, ISBN 3-11-015248-7, Zbl 0945.20036 
• Lothaire, M. (1997), Lothaire, M, ур., Combinatorics on words, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 17, Perrin, D.; Reutenauer, C.; Berstel, J.; Pin, J. E.; Pirillo, G.; Foata, D.; Sakarovitch, J.; Simon, I.; Schützenberger, M. P.; Choffrut, C.; Cori, R.; Lyndon, Roger; Rota, Gian-Carlo. Foreword by Roger Lyndon (2nd изд.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-59924-5, MR 1475463, Zbl 0874.20040, doi:10.1017/CBO9780511566097 

Спољашње везе

• Chapter 2 / Propositional Logic from Logic In Action
• Propositional sequent calculus prover on Project Nayuki. (note: implication can be input in the form !X|Y, and a sequent can be a single formula prefixed with > and having no commas)
• Propositional Logic - A Generative Grammar
• Weisstein, Eric W. „Binary Operation”. MathWorld.