Несвојствени интеграл

Несвојствени интеграл представља уопштење одређеног интеграла на неограничене интервале интеграције и неограничене подинтегралне функције.

Дефиниција

Несвојствени интеграл за функцију $f\in R[a,c],\forall c<b$, ако постоји $\lim _{c\to b^{-}}\int _{a}^{c}f(x)dx$, је интеграл $\int _{a}^{b}f(x)dx$ по дефиницији једнак том лимесу, $\int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{c\to b^{-}}\int _{a}^{c}f(x)dx$.

За $f\in R[a,b]$, несвојствени интеграл једнак је Римановом, због непрекидности лимеса.

Врсте интеграла

Разликују се несвојствени интеграли прве и друге врсте.

Несвојствени интеграли прве врсте

Код несвојствених интеграла прве врсте, подинтегрална функција је дефинисана на бесконачном интервалу интеграције. У зависности од интервала интеграције, разликују се три типа несвојствених интеграла са бесконачним интервалом који се дефинишу као граничне вредности, али на различите начине:

• када је интервал интеграције полуоса затворена са леве стране, $[a,+\infty )$:

$\int _{a}^{+\infty }f(x)dx=\lim _{\beta \to +\infty }\int _{a}^{\beta }f(x)dx$

• када је интервал интеграције полуоса затворена са десне стране, $(-\infty ,b]$:

$\int _{-\infty }^{b}f(x)dx=\lim _{\alpha \to -\infty }\int _{\alpha }^{b}f(x)dx$

• када је интервал цела бројевна права, $(-\infty ,+\infty )$:

$\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=\lim _{\alpha \to -\infty ,\beta \to +\infty ,}\int _{\alpha }^{\beta }f(x)dx,$

где границе интеграцие $\alpha$ и $\beta$ ка бесконачности теже независно.

Несвојствени интеграли друге врсте

Несвојствени интеграли друге врсте су интеграли код којих је интервал интеграције коначан, али подинтегрална функција неограничена у једној тачки која се назива сингуларна тачка. Разликују се три типа несвојствених интеграла другог реда у зависности од положаја сингуларне тачке:

• када је функција дефинисана у десно отвореном интервалу, $[a,b)$, где $\lim _{x\to b^{-}}f(x)=\infty$:

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{\epsilon \to 0}\int _{a}^{b-\epsilon }f(x)dx$

• када је функција дефинисана у лево отвореном интервалу, $(a,b]$, где $\lim _{x\to a^{+}}f(x)=\infty$:

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{\epsilon \to 0}\int _{a+\epsilon }^{b}f(x)dx$

• када је функција дефинисана у целом интервалу $[a,b]$, изузев у једној унутрашњој тачки c, $a<c<b$, у којој је неограничена $\lim _{x\to c}f(x)=\infty$:

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\lim _{\epsilon \to 0}\int _{a}^{c-\epsilon }f(x)dx+\lim _{\delta \to 0}\int _{c+\delta }^{b}f(x)dx$

Особине

Преласком на лимес код особина Риманових интеграла, лако се добијају следеће особине несвојствених интеграла:

• $\int _{a}^{b}(f(x)+g(x))dx=\int _{a}^{b}f(x)dx+\int _{a}^{b}g(x)dx$
• $\int _{a}^{b}(\lambda f(x))dx=\lambda \int _{a}^{b}f(x)dx,\forall \lambda \in \mathbf {R}$
• $\int _{a}^{b}(u'(x)v(x))dx=\lim _{c\to b^{-}}(u(x)v(x)|_{a}^{c})-\int _{a}^{b}(u(x)v'(x))dx$, ако постоји барем један од ова три израза.

Кошијев критеријум за несвојствене интеграле

Интеграл $\int _{a}^{c}f(x)dx$ постоји у несвојственом смислу ⇔ $(\forall \epsilon >0)(\exists c_{0}\in [a,b])(\forall c_{1},c_{2}>c_{0})|\int _{c_{1}}^{c_{2}}f(x)dx|<\epsilon .$ Ово се лако показује из Кошијевог конвергенционог критеријума, где се функција којој се одређује лимес замењује конкретним несвојственим интегралом $\int _{a}^{c}f(x)dx$.

Види још

• Интеграл
• Права вредност интеграла

Библиографија

• Apostol, T (1974), Mathematical analysis, Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-00288-1 .
• Apostol, T (1967), Calculus, Vol. 1 (2nd изд.), Jon Wiley & Sons .
• Autar Kaw, Egwu Kalu (2008), Numerical Methods with Applications (1st изд.), autarkaw.com 
• Titchmarsh, E (1948), Introduction to the theory of Fourier integrals (2nd изд.), New York, N.Y.: Chelsea Pub. Co. (објављено 1986), ISBN 978-0-8284-0324-5 .
• Cooper, Jeffery (2005), Working analysis, Gulf Professional 
• Ghorpade, Sudhir; Limaye, Balmohan (2010), A course in multivariable calculus and analysis, Springer