Чебишевљеви полиноми су ортогонални полиноми
T
n
(
x
)
{\displaystyle T_{n}(x)}
U
n
(
x
)
{\displaystyle U_{n}(x)}
T
n
(
x
)
{\displaystyle T_{n}(x)}
(
1
−
x
2
)
y
″
−
x
y
′
+
n
2
y
=
0.
{\displaystyle (1-x^{2})\,y''-x\,y'+n^{2}\,y=0.\,\!}
Чебишевљеви полиноми другога реда
U
n
(
x
)
{\displaystyle U_{n}(x)}
(
1
−
x
2
)
y
″
−
3
x
y
′
+
n
(
n
+
2
)
y
=
0.
{\displaystyle (1-x^{2})\,y''-3x\,y'+n(n+2)\,y=0.\,\!}
Те диференцијалне једначине су Штурм-Лијувиловога облика. Полиноми су добили назив у част рускога математичара Пафнутија Чебишева .
Чебишевљеви полиноми првога реда, T_1 је означен црвеном, T_2 плавом, T_3 зеленом и T_4 окер бојом Дефиниција полинома првога реда [ уреди | уреди извор ] Полиноми првога реда могу да се дефинишу и формулама рекурзије:
T
0
(
x
)
=
1
T
1
(
x
)
=
x
T
n
+
1
(
x
)
=
2
x
T
n
(
x
)
−
T
n
−
1
(
x
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}(x)&=1\\T_{1}(x)&=x\\T_{n+1}(x)&=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x).\end{aligned}}}
Најчешћа генерирајућа функција Чебишевљевих полинома је:
∑
n
=
0
∞
T
n
(
x
)
t
n
=
1
−
t
x
1
−
2
t
x
+
t
2
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}.\,\!}
Постоје још две друге генерирајуће функције:
∑
n
=
0
∞
T
n
(
x
)
t
n
n
!
=
1
2
(
e
(
x
−
x
2
−
1
)
t
+
e
(
x
+
x
2
−
1
)
t
)
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}={1 \over 2}\left(e^{(x-{\sqrt {x^{2}-1}})t}+e^{(x+{\sqrt {x^{2}-1}})t}\right).\,\!}
и
∑
n
=
0
∞
T
n
(
x
)
t
n
n
=
ln
e
1
−
2
t
x
+
t
2
.
{\displaystyle \sum \limits _{n=0}^{\infty }T_{n}\left(x\right){\frac {t^{n}}{n}}=\ln {\frac {e}{\sqrt {1-2tx+t^{2}}}}.}
Дефиниција полинома другога реда [ уреди | уреди извор ] Полиноми другога реда могу да се дефинишу и формулама рекурзије:
U
0
(
x
)
=
1
U
1
(
x
)
=
2
x
U
n
+
1
(
x
)
=
2
x
U
n
(
x
)
−
U
n
−
1
(
x
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)&=1\\U_{1}(x)&=2x\\U_{n+1}(x)&=2xU_{n}(x)-U_{n-1}(x).\end{aligned}}}
Генерирајућа функција је дана са:
∑
n
=
0
∞
U
n
(
x
)
t
n
=
1
1
−
2
t
x
+
t
2
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}}.\,\!}
Чебишевљеви полиноми првога и другога реда представљају ортогоналне полиноме. Полиноми првога реда ортогонални су са тежинском функцијом
1
1
−
x
2
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,\!}
∫
−
1
1
T
n
(
x
)
T
m
(
x
)
d
x
1
−
x
2
=
{
0
:
n
≠
m
π
:
n
=
m
=
0
π
/
2
:
n
=
m
≠
0
{\displaystyle \int _{-1}^{1}T_{n}(x)T_{m}(x)\,{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}={\begin{cases}0&:n\neq m\\\pi &:n=m=0\\\pi /2&:n=m\neq 0\end{cases}}}
Полиноми другога реда су ортогонални са тежинским фактором
1
−
x
2
{\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}\,\!}
∫
−
1
1
U
n
(
x
)
U
m
(
x
)
1
−
x
2
d
x
=
{
0
:
n
≠
m
,
π
/
2
:
n
=
m
.
{\displaystyle \int _{-1}^{1}U_{n}(x)U_{m}(x){\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\begin{cases}0&:n\neq m,\\\pi /2&:n=m.\end{cases}}}
Везе између полинома првога и другога реда [ уреди | уреди извор ]
d
d
x
T
n
(
x
)
=
n
U
n
−
1
(
x
)
,
n
=
1
,
…
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,T_{n}(x)=nU_{n-1}(x){\mbox{ , }}n=1,\ldots }
T
n
(
x
)
=
1
2
(
U
n
(
x
)
−
U
n
−
2
(
x
)
)
.
{\displaystyle T_{n}(x)={\frac {1}{2}}(U_{n}(x)-\,U_{n-2}(x)).}
T
n
+
1
(
x
)
=
x
T
n
(
x
)
−
(
1
−
x
2
)
U
n
−
1
(
x
)
{\displaystyle T_{n+1}(x)=xT_{n}(x)-(1-x^{2})U_{n-1}(x)\,}
T
n
(
x
)
=
U
n
(
x
)
−
x
U
n
−
1
(
x
)
,
{\displaystyle T_{n}(x)=U_{n}(x)-x\,U_{n-1}(x),}
U
n
(
x
)
=
2
∑
j
odd
n
T
j
(
x
)
{\displaystyle U_{n}(x)=2\sum _{j\,\,{\text{odd}}}^{n}T_{j}(x)}
U
n
(
x
)
=
2
∑
j
even
n
T
j
(
x
)
−
1
{\displaystyle U_{n}(x)=2\sum _{j\,{\text{even}}}^{n}T_{j}(x)-1}
Чебишевљеви полиноми првога реда могу да се дефинишу помоћу тригонометријских релација као:
T
n
(
x
)
=
cos
(
n
arccos
x
)
=
cosh
(
n
a
r
c
c
o
s
h
x
)
{\displaystyle T_{n}(x)=\cos(n\arccos x)=\cosh(n\,\mathrm {arccosh} \,x)\,\!}
где је:
T
n
(
cos
(
ϑ
)
)
=
cos
(
n
ϑ
)
{\displaystyle T_{n}(\cos(\vartheta ))=\cos(n\vartheta )\,\!}
Чебишевљеви полиноми другога реда реда могу да се дефинишу помоћу тригонометријских релација као:
U
n
(
cos
(
ϑ
)
)
=
sin
(
(
n
+
1
)
ϑ
)
sin
ϑ
,
{\displaystyle U_{n}(\cos(\vartheta ))={\frac {\sin((n+1)\vartheta )}{\sin \vartheta }}\,,}
Чебишевљеви полиноми могу да се дефинишу и као решења Пелове једначине :
T
n
(
x
)
2
−
(
x
2
−
1
)
U
n
−
1
(
x
)
2
=
1
{\displaystyle T_{n}(x)^{2}-(x^{2}-1)U_{n-1}(x)^{2}=1\,\!}
Релација рекурзије за изводе Чебишевљивих полинома је:
2
T
n
(
x
)
=
1
n
+
1
d
d
x
T
n
+
1
(
x
)
−
1
n
−
1
d
d
x
T
n
−
1
(
x
)
,
n
=
1
,
…
{\displaystyle 2T_{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\;{\frac {d}{dx}}T_{n+1}(x)-{\frac {1}{n-1}}\;{\frac {d}{dx}}T_{n-1}(x){\mbox{ , }}\quad n=1,\ldots }
Туранове неједначине за Чебишевљеве полиноме су облика:
T
n
(
x
)
2
−
T
n
−
1
(
x
)
T
n
+
1
(
x
)
=
1
−
x
2
>
0
za
−
1
<
x
<
1
{\displaystyle T_{n}(x)^{2}-T_{n-1}(x)T_{n+1}(x)=1-x^{2}>0{\text{ za }}-1<x<1\!}
U
n
(
x
)
2
−
U
n
−
1
(
x
)
U
n
+
1
(
x
)
=
1
>
0.
{\displaystyle U_{n}(x)^{2}-U_{n-1}(x)U_{n+1}(x)=1>0.\!}
Чебишевљеви полиноми другога реда Неколико првих Чебишевљевих полинома првога реда:
T
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle T_{0}(x)=1\,}
T
1
(
x
)
=
x
{\displaystyle T_{1}(x)=x\,}
T
2
(
x
)
=
2
x
2
−
1
{\displaystyle T_{2}(x)=2x^{2}-1\,}
T
3
(
x
)
=
4
x
3
−
3
x
{\displaystyle T_{3}(x)=4x^{3}-3x\,}
T
4
(
x
)
=
8
x
4
−
8
x
2
+
1
{\displaystyle T_{4}(x)=8x^{4}-8x^{2}+1\,}
T
5
(
x
)
=
16
x
5
−
20
x
3
+
5
x
{\displaystyle T_{5}(x)=16x^{5}-20x^{3}+5x\,}
T
6
(
x
)
=
32
x
6
−
48
x
4
+
18
x
2
−
1
{\displaystyle T_{6}(x)=32x^{6}-48x^{4}+18x^{2}-1\,}
T
7
(
x
)
=
64
x
7
−
112
x
5
+
56
x
3
−
7
x
{\displaystyle T_{7}(x)=64x^{7}-112x^{5}+56x^{3}-7x\,}
T
8
(
x
)
=
128
x
8
−
256
x
6
+
160
x
4
−
32
x
2
+
1
{\displaystyle T_{8}(x)=128x^{8}-256x^{6}+160x^{4}-32x^{2}+1\,}
T
9
(
x
)
=
256
x
9
−
576
x
7
+
432
x
5
−
120
x
3
+
9
x
{\displaystyle T_{9}(x)=256x^{9}-576x^{7}+432x^{5}-120x^{3}+9x\,}
Неколико првих Чебишевљевих полинома другога реда:
U
0
(
x
)
=
1
{\displaystyle U_{0}(x)=1\,}
U
1
(
x
)
=
2
x
{\displaystyle U_{1}(x)=2x\,}
U
2
(
x
)
=
4
x
2
−
1
{\displaystyle U_{2}(x)=4x^{2}-1\,}
U
3
(
x
)
=
8
x
3
−
4
x
{\displaystyle U_{3}(x)=8x^{3}-4x\,}
U
4
(
x
)
=
16
x
4
−
12
x
2
+
1
{\displaystyle U_{4}(x)=16x^{4}-12x^{2}+1\,}
U
5
(
x
)
=
32
x
5
−
32
x
3
+
6
x
{\displaystyle U_{5}(x)=32x^{5}-32x^{3}+6x\,}
U
6
(
x
)
=
64
x
6
−
80
x
4
+
24
x
2
−
1
{\displaystyle U_{6}(x)=64x^{6}-80x^{4}+24x^{2}-1\,}
U
7
(
x
)
=
128
x
7
−
192
x
5
+
80
x
3
−
8
x
{\displaystyle U_{7}(x)=128x^{7}-192x^{5}+80x^{3}-8x\,}
U
8
(
x
)
=
256
x
8
−
448
x
6
+
240
x
4
−
40
x
2
+
1
{\displaystyle U_{8}(x)=256x^{8}-448x^{6}+240x^{4}-40x^{2}+1\,}
U
9
(
x
)
=
512
x
9
−
1024
x
7
+
672
x
5
−
160
x
3
+
10
x
{\displaystyle U_{9}(x)=512x^{9}-1024x^{7}+672x^{5}-160x^{3}+10x\,}
