Јакобијан

Из Википедије, слободне енциклопедије

Јакобијева матрица је матрица парцијалних извода другога реда неке функције и има облик:

J_F\left(M\right)=
\begin{pmatrix} 
\dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n}
\end{pmatrix}.

Јакобијан је детерминанта Јакобијеве матрице. Добила је назив по немачком математичару Карлу Густаву Јакобију.

Дефиниција[уреди]

Нека је F : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m функција са Еуклидова n- простора на Еуклидов m-простор. Таква функција има м компоненти:

F : \begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix} \longmapsto \begin{pmatrix}
f_1(x_1,\dots,x_n)\\
\vdots\\
f_m(x_1,\dots,x_n)\end{pmatrix}.

Тада парцијални изводи тих функција чине Јакобијеву матрицу:

J_F\left(M\right)=
\begin{pmatrix} 
\dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n}
\end{pmatrix}.

Матрица се означава и као:

J_F\left(M\right),\qquad \frac{\partial\left(f_1,\ldots,f_m\right)}{\partial\left(x_1,\ldots,x_n\right)}\qquad \text{ili}\qquad\frac{\mathrm D\left(f_1,\ldots,f_m\right)}{\mathrm D\left(x_1,\ldots,x_n\right)}.

У случају да су (x_1, \ldots , x_n) ортогоналне Картезијеве координате тада матрица одговара градијенту компоненти функције, тј. \left(\nabla F_i\right).

Јакобијан[уреди]

У случају да је m=n Јакобијева матрица је квадратна матрица па има детерминанту, која се назива Јакобијева детерминанта или Јакобијан. Јакобијан се користи за израчунавања вишеструких интеграла заменом координатнога система \tilde x_j \rightarrow x_i тако да следи:

\int\limits_{\tilde \Omega} f(\tilde x_1,\tilde x_2,\dots,\tilde x_n) d\tilde x_1 d\tilde x_2 \dots d\tilde x_n =
= \int\limits_{\Omega} f(\tilde x_1,\tilde x_2,\dots,\tilde x_n) \bigg|\frac{D(\tilde x_1,\tilde x_2,\dots,\tilde x_n)}{D(x_1,x_2,\dots,x_n)}\bigg| dx_1 dx_2 \dots dx_n

Сферни координатни систем[уреди]

У случају трансформације сфернога координатнога система заданога са (r, θ, φ) на картезијев координатни систем једначине трансформације су:

 x_1 = r\, \sin\theta\, \cos\phi \,
 x_2 = r\, \sin\theta\, \sin\phi \,
 x_3 = r\, \cos\theta. \,

Јакобијева матрица је тада дана са:

J_F(r,\theta,\phi) =\begin{bmatrix}
\dfrac{\partial x_1}{\partial r} & \dfrac{\partial x_1}{\partial \theta} & \dfrac{\partial x_1}{\partial \phi} \\[3pt]
\dfrac{\partial x_2}{\partial r} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \theta} & \dfrac{\partial x_2}{\partial \phi} \\[3pt]
\dfrac{\partial x_3}{\partial r} & \dfrac{\partial x_3}{\partial \theta} & \dfrac{\partial x_3}{\partial \phi} \\
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 
	\sin\theta\, \cos\phi &  r\, \cos\theta\, \cos\phi  & -r\, \sin\theta\, \sin\phi \\
	\sin\theta\, \sin\phi &  r\, \cos\theta\, \sin\phi  &  r\, \sin\theta\, \cos\phi \\ 
	\cos\theta            &  -r\, \sin\theta            &             0                               
\end{bmatrix}.

Јакобијан је детерминанта те матрице тј:

\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r, \theta, \varphi)}=r^2\sin\theta.

Односно запремински елемент је тада:

\mathrm{d}V=\left|\det \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)} \right| \mathrm{d}r \,\mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}\varphi=r^2 \sin\theta \,\mathrm{d}r\,  \mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}\varphi.

Поларни координатни систем[уреди]

У поларном координатном систему једначине трансформације су:

x\,=r\,\cos\,\phi;
y\,=r\,\sin\,\phi.

Јакобијева матрица је дана са: J(r,\phi)=\begin{bmatrix} {\partial x\over\partial r} & {\partial x\over \partial\phi}   \\ {\partial y\over \partial r} & {\partial y\over \partial\phi}   \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\partial (r\cos\phi)\over \partial r} & {\partial (r\cos\phi)\over \partial \phi}   \\ {\partial(r\sin\phi)\over \partial r} & {\partial (r\sin\phi)\over \partial\phi}   \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos\phi & -r\sin\phi   \\ \sin\phi & r\cos\phi   \end{bmatrix} Јакобијева детерминанта или Јакобијан је онда једнак r. Због тога се двоструки интеграли могу из картезијевога система трансформисати у поларни систем на следећи начин:

\iint_A dx\, dy= \iint_B r \,dr\, d\phi.

Литература[уреди]

  • Јакобијан
  • Kaplan, W. Advanced Calculus, 3rd ed. Reading, MA: Addison-Wesley 1984.
  • Herbert Federer: Geometric measure theory. 1 Auflage. Springer, Berlin 1996, ISBN 3-540-60656-4