Једноставан доказ да је 22/7 веће од пи

Рационалан број 22/7 је приближна вредност ирационалног броја π.

$22/7 \cong 3,142857\dots\,$

$\pi \cong 3,14159\dots\,$

Следи математички доказ да је 22/7 > π. Овај доказ је једноставан јер је кратак и непосредан и захтева само основни ниво познавања математичке анализе.

Идеја

$0<\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\,dx=\frac{22}{7}-\pi.$

Детаљи

$0<\int_0^1\frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}\,dx$

$=\int_0^1\frac{x^4-4x^5+6x^6-4x^7+x^8}{1+x^2}\,dx$

$=\int_0^1 \left(x^6-4x^5+5x^4-4x^2+4-\frac{4}{1+x^2}\right) \,dx$

$=\left.\frac{x^7}{7}-\frac{2x^6}{3}+ x^5- \frac{4x^3}{3}+4x-4\arctan{x}\,\right|_0^1$

$=\frac{1}{7}-\frac{2}{3}+1-\frac{4}{3}+4-\pi\$ (сетите се да је arctan(1) = π/4)

$=\frac{22}{7}-\pi.$

Дакле, разлика 22/7 и π је већа од нуле што и доказује да је 22/7 > π.

Патнамово такмичење

Развој овог интеграла био је први проблем на америчком Годишњем Вилијем Лоуел Патнам студентском математичком такмичењу 1968. године.

Спољни линк

• Проблеми са Патнамовог такмичења 1968, где је овај доказ дат као проблем А1.