Њутн-Коутс формуле

У нумеричкој анализи, Њутн-Коутс формуле су класа поступака из нумеричке интеграције. Име су добиле по Исаку Њутну и математичару Роџеру Котсу.

Основа Њутн-Коутс формула су Лагранжови полиноми. Када желимо да израчунамо одређен интеграл неке дате функције ($\int_a^b f(x) dx$), прво апроксимирамо дату функцију Лагранжовим полиномом па после израчунавамо интеграл тог полинома уместо функције (под претпоставком да смо добили $n+1$ тачака те функције).

Значи:

$f(x) \approx P(x) = \sum_{i=0}^{n} f(x_{i})l^n_{i}(x), x_i \in [a,b]$

$\int_a^b f(x) dx \approx \int_a^b P(x) dx = \int_a^b \sum_{i=0}^{n} f(x_{i})l_{i}^n(x) dx$

$f(x_i)$ су тачке дате функције за једнако распоређених $n+1$ апсциса $x_i$ у интервалу $[a,b]$.

f(x_i) можемо да сматрамо констатама, а због правила суме при интеграцији можемо да „извучемо“ суму испред интеграла:

$\int_a^b f(x) dx \approx \sum_{i=0}^{n} f(x_{i}) \underbrace{\int_a^b l_{i}^n(x) dx}_{c_i^n}$

$l_{i}(x)$ зависи само од тачака ${x_i, i = 0, \dots, n}$, али не и од функције $f(x)$. Наша апроксимација постаје:

$\int_a^b f(x) dx \approx (b - a ) \sum_{i=0}^{n} c_i^n f(x_{i})$

$c_i^n$ представљају Коутс бројеве, $c_i^n = \frac{1}{b-a} \int_a^b l^n_i(x) dx$, који имају особине:

• $\sum_{i=0}^{n} c_k^n = 1$
• $c_i^n = c_{n-i}^n$

За мали број тачака, ове формуле су добиле посебна имена ($f_i = f(x_i)$ ):

$x_i = a + i \cdot h, i=0,\dots,n$ за $n \geq 1$, $h = \frac{b-a}{n}$, $n+1$ је број тачака;

$x_0 = \frac{a+b}{2}$ за $n = 1$.

n	име	Формула	Грешка ($\xi \in [a,b]$)
1	трапезоидно правило	$\frac{h}{2} (f_0 + f_1)$	$-\frac{h^3}{12}\,f^{(2)}(\xi)$
2	Симпсоново правило	$\frac{h}{3} (f_0 + 4 f_1 + f_2)$	$-\frac{h^5}{90}\,f^{(4)}(\xi)$
3	Правило 3/8	$\frac{3\, h}{8} (f_0 + 3 f_1 + 3 f_2 + f_3)$	$-\frac{3\, h^5}{80}\,f^{(4)}(\xi)$
4	Милнеово правило	$\frac{2\, h}{45} (7 f_0 + 32 f_1 + 12 f_2 + 32 f_3 + 7 f_4)$	$-\frac{8\, h^7}{945}\,f^{(6)}(\xi)$

За велики број тачака у интервалу ($n \geq 5$) овај метод постаје неприменљив. Са једне стране захтева много тачака, а са друге наступају грешке у рачуну; за $n=8$ и $n \geq 10$ добићемо чак негативне тежине.

Да бисмо добили прецизан резултат, размак између тачака h мора да буде прилично мали, што за велики интервал $[a,b]$ то неће бити случај. Једно од могућих решења је да интервал поделимо на више мањих и онда да на сваком појединачно извршимо нумеричку интеграцију.