Њутн-Коутс формуле

Из Википедије, слободне енциклопедије

У нумеричкој анализи, Њутн-Коутс формуле су класа поступака из нумеричке интеграције. Име су добиле по Исаку Њутну и математичару Роџеру Котсу.

Основа Њутн-Коутс формула су Лагранжови полиноми. Када желимо да израчунамо одређен интеграл неке дате функције (\int_a^b f(x) dx), прво апроксимирамо дату функцију Лагранжовим полиномом па после израчунавамо интеграл тог полинома уместо функције (под претпоставком да смо добили n+1 тачака те функције).

Значи:

f(x) \approx P(x) = \sum_{i=0}^{n} f(x_{i})l^n_{i}(x), x_i \in [a,b]
\int_a^b f(x) dx \approx \int_a^b P(x) dx = \int_a^b \sum_{i=0}^{n} f(x_{i})l_{i}^n(x) dx

f(x_i) су тачке дате функције за једнако распоређених n+1 апсциса x_i у интервалу [a,b].

f(x_i) можемо да сматрамо констатама, а због правила суме при интеграцији можемо да „извучемо“ суму испред интеграла:

\int_a^b f(x) dx \approx \sum_{i=0}^{n} f(x_{i}) \underbrace{\int_a^b l_{i}^n(x) dx}_{c_i^n}

l_{i}(x) зависи само од тачака {x_i, i = 0, \dots, n}, али не и од функције f(x). Наша апроксимација постаје:

\int_a^b f(x) dx \approx (b - a ) \sum_{i=0}^{n} c_i^n f(x_{i})

c_i^n представљају Коутс бројеве, c_i^n = \frac{1}{b-a} \int_a^b l^n_i(x) dx, који имају особине:

  •  \sum_{i=0}^{n} c_k^n = 1
  •  c_i^n = c_{n-i}^n

За мали број тачака, ове формуле су добиле посебна имена (f_i = f(x_i) ):

x_i = a + i \cdot h, i=0,\dots,n за n \geq 1 , h = \frac{b-a}{n}, n+1 је број тачака;
x_0 = \frac{a+b}{2} за n = 1.


n име Формула Грешка (\xi \in [a,b])
1 трапезоидно правило  \frac{h}{2} (f_0 + f_1) -\frac{h^3}{12}\,f^{(2)}(\xi)
2 Симпсоново правило  \frac{h}{3} (f_0 + 4 f_1 + f_2) -\frac{h^5}{90}\,f^{(4)}(\xi)
3 Правило 3/8  \frac{3\, h}{8} (f_0 + 3 f_1 + 3 f_2 + f_3) -\frac{3\, h^5}{80}\,f^{(4)}(\xi)
4 Милнеово правило  \frac{2\, h}{45} (7 f_0 + 32 f_1 + 12 f_2 + 32 f_3 + 7 f_4) -\frac{8\, h^7}{945}\,f^{(6)}(\xi)

За велики број тачака у интервалу (n \geq 5) овај метод постаје неприменљив. Са једне стране захтева много тачака, а са друге наступају грешке у рачуну; за n=8 и n \geq 10 добићемо чак негативне тежине.

Да бисмо добили прецизан резултат, размак између тачака h мора да буде прилично мали, што за велики интервал [a,b] то неће бити случај. Једно од могућих решења је да интервал поделимо на више мањих и онда да на сваком појединачно извршимо нумеричку интеграцију.