Аксиома упаривања

Из Википедије, слободне енциклопедије

У аксиоматској теорији скупова и областима логике, математике, и рачунарства које се њоме користе, аксиома упаривања је једна од аксиома Зермело-Френкел теорије скупова.

Формални исказ[уреди]

У формалном језику Зермело-Френкел аксиома, аксиома гласи:

\forall A \, \forall B \, \exist C \, \forall D \, [ D \in C \iff (D = A \or D = B)]

или написано речима:

За било који дати скуп A и било који скуп B, постоји скуп C, такав да, за било који дати скуп D, D је члан C ако и само ако D је једнако A или D је једнако B.

Или простије речено:

За два дата скупа, постоји скуп чији су елементи управо два дата скупа.

Интерпретација[уреди]

Ова аксиома заправо каже да за два дата скупа A и B, може да се нађе скуп C, чији су елементи тачно A и B. Може да се користи аксиома екстензионалности да се покаже да је овај скуп C јединствен. Скуп C се назива паром за A и B, и означава се са {A, B}. Значи, суштина аксиоме је:

Свака два скупа имају пар.

{A, A} се скраћено записује као {A}, и назива се синглтон који садржи A. Ваља уочити да је синглтон посебан случај пара.

Аксиома упаривања такође допушта дефиницију уређених парова. За свака два скупа a и b, уређени пар се дефинише на следећи начин:

 (a, b) = \{ \{ a \}, \{ a, b \} \}.\,

Ова дефиниција задовољава услов

(a, b) = (c, d) \iff a = c \and b = d.

Уређена n-торка може рекурзивно да се дефинише на следећи начин:

 (a_1, \ldots, a_n) = ((a_1, \ldots, a_{n-1}), a_n).\!

Не-независност[уреди]

Аксиома упаривања се генерално сматра неконтроверзном, и она или њен еквивалент се појављује у мање-више свакој алтернативној аксиоматској теорији скупова. Па ипак, у стандардној формулацији Зермело-Френкел теорије скупова, аксиома упаривања следи из шеме аксиома замене примењене на било који дати скуп са два или више елемената, и стога се понекад изоставља. Постојање таквог скупа са два елемента, као што је { {}, { {} } }, може да се дедукује било из аксиоме празног скупа и аксиоме партитивног скупа или из аксиоме бесконачности.

Уопштење[уреди]

Заједно са аксиомом празног скупа, аксиома упаривања може да се уопшти у следећу шему:

\forall A_1 \, \ldots \, \forall A_n \, \exist C \, \forall D \, [D \in C \iff (D = A_1 \or \cdots \or D = A_n)]

то јест:

За било који дати коначни број скупова A1 до An, постоји скуп C чији елементи су управо A1 до An.

Овај скуп C је такође јединствен по аксиоме екстензионалности, и означава се као {A1,...,An}.

Наравно, није могуће ригорозно говорити о коначном броју скупова ако претходно није дефинисан (коначан) скуп коме поменути скупови припадају.

Стога ово није један исказ већ шема, са засебним исказом за сваки природан број n.

  • Случај n = 1 је аксиома упаривања за A = A1 и B = A1.
  • Случај n = 2 је аксиома упаривања за A = A1 и B = A2.
  • Случајеви n > 2 могу да се докажу узастопним коришћењем аксиоме упаривања и аксиоме уније.

На пример, како би се доказао случај n = 3, користи се аксиома упаривања три пута да се произведе пар {A1, A2}, синглтон {A3}, а затим пар {{A1,A2},{A3}}. Аксиома уније затим производи жељени резултат, {A1,A2,A3}. Ова шема може да се прошири да укључује n = 0 ако се тај случај интерпретира као аксиома празног скупа.

Стога, ова аксиома може да се користи као шема аксиома уместо аксиоме празног скупа и аксиоме упаривања. Међутим, уобичајено је да се аксиома празног скупа и аксиома упаривања користе засебно, а затим да се докаже ово уопштење као шема теорема. Његово усвајање као шеме аксиома не би заменило аксиому уније, која би и даље била потребна за друге ситуације.

Још једна алтернатива[уреди]

Још једна аксиома која имплицира аксиому упаривања у присуству аксиоме празног скупа гласи:

\forall A \, \forall B \, \exist C \, \forall D \, [D \in C \iff (D \in A \or D = B)].

Узимањем {} за A а x за B, добија се {x} за C. Затим се узма {x} за A а y за B, што даје {x, y} за C. Може да се настави са овим и да се изгради било који коначан скуп. И ово може да се користи да се генеришу сви наследно коначни скупови без коришћења аксиоме избора.

Литература[уреди]

  • Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
  • Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
  • Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.