Апсолутна вредност

Из Википедије, слободне енциклопедије
График функције апсолутне вредности

У математици, апсолутна вредност (или модуо) реалног броја је његова нумеричка вредност не узимајући у обзир знак тог броја.

Нпр. бројеви 3 и −3 имају апсолутну вредност 3, апсолутна вредност броја 5 је 5, броја −4 је 4, док је 0 апсолутна вредност само за број 0.

Дефиниција[уреди]

За било који реалан број a, апсолутна вредност, означава се |a|, је једнака броју a ако је a ≥ 0, и −a ако је a < 0. |a|=\left\{\begin{matrix}
a, & a \ge 0 \\
-a, & a < 0
\end{matrix}\right.

|a| не може бити негативан број јер је апсолутна вредност увек или позитиван број или 0. Другим речима, неједначина |a| < 0 нема решења. Такође, не мора важити |−a| = a, пошто a може бити негативно.

Апсолутна вредност се може разумети као удаљеност датог броја од нуле.

Својства[уреди]

Апсолутна вредност броја a има следећа својства:

  1. |a| ≥ 0
  2. |a| = 0 ако и само ако a = 0.
  3. |ab| = |a||b|
  4. |a/b| = |a| / |b| (ако је b ≠ 0)
  5. |a+b| ≤ |a| + |b| (неједнакост троугла)
  6. |ab| ≥ ||a| − |b||
  7. \left| a \right| = \sqrt{a^2}
  8. |a| ≤ b ако и само акоbab
  9. |a| ≥ b ако и само ако a ≤ −b или ba


Последња два својства су корисна при решавању неједнаначина, нпр:

|x − 3| ≤ 9
−9 ≤ x−3 ≤ 9
−6 ≤ x ≤ 12.

За реалну вредност аргумента, функција f(x) = |x| је непрекидна свуда, а диференцијабилна свуда осим за x = 0. Уколико је аргумент комплексна променљива, функција је непрекидна свуда, али није нигде холоморфна (односно диференцијабилна; један начин да се то види је да се докаже да не задовољава Коши-Риманове једначине).

За комплексни број z = a + ib, дефинише се модуо комплексног броја као |z| = √(a2 + b2) = √ (z z*) (погледати квадратни корен и Конјугован комплексан број). Овако дефинисан модуо комплексног броја задовољава својства 1–6 дата изнад. Опет се модуо комплексног броја, као и за реалне бројеве, може разумети као удаљеност од координатног почетка.

Често је корисно израз |xy| посматрати као растојање између x и y (на реалној бројевној правој уколико су x и y реални бројеви, или, пак, у комплексној равни, уколико су x и y комплексни бројеви). Коришћењем овакве дефиниције, и скуп реалних, и скуп комплексних бројева постају метрички простори.

Функција није инвертибилна јер се сваком броју a и његовом опозиту −a додељују исте вредности.

Апсолутна вредност комплексног броја[уреди]

Апсолутна вредност комплексног броја (такође звана и модуо комплексног броја) c\in\mathbb C је дата као |c| = \sqrt{c\,\overline c}, где је \overline c конјугована вредност броја c. Писањем c као c = a + b\,i за a, b\in\mathbb R, горња једначина се своди на |c| = \sqrt{a^2 + b^2}.

Апсолутна вредност вектора[уреди]

Апсолутна вредност вектора v = (x1, x2,..., xn) у Еуклидском простору Rn дата је као

\left | \mathbf{v} \right | = \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2}.

|v| се може сматрати дужином вектора v.

Алгоритам[уреди]

У C програмском језику, abs(), labs(), llabs() (у C99), fabs(), fabsf(), и fabsl() функције рачунају апсолутну вредност њиховог аргумента. Кодирање апсолутне вредности када је аргумент цео број је лако:

int abs(int i)
{
    if (i < 0)
        return -i;
    else
        return i;
}