Асимптота

Из Википедије, слободне енциклопедије

Асимптота је права линија или крива A којој се друга крива B (она коју проучавамо) приближава све ближе како идемо дуж ње. Како се кређемо дуж B, раздаљина између ње и асимптоте A тежи да постаје све мања и мање. Крива може али не мора да додирне своју асимптоту. У ствари, крива може да пресече асимптоту бесконачан број пута, али њено максимално одступање од асимптоте се смањује.

У графу f(x)=\tfrac{1}{x}, x и y осе су асимптоте.
У графу f(x)=x+\tfrac{1}{x}, y оса (x = 0) и права y = x су асимптоте.

Асимптоте и графици функција[уреди]

Асимптоте се формално дефинишу помоћу лимеса.

Нека је f функција. Тада је права y = a хоризонтална асимптота за f ако

\lim_{x \to \infty} f(x) = a, или \lim_{x \to -\infty} f(x) = a.

Интуитивно, ово значи да f(x) може прићи произвољно близу a ако x учинимо довољно великим. Колико велико је довољно велико зависи од тога колико близу желимо да буду f(x) и a. Ово значи да ће далеко дуж криве, крива бити врло близу праве.

Уколико је

\lim_{x \to \infty} f(x) = a, и \lim_{x \to -\infty} f(x) = b

онда граф функције f има две хоризонталне асимптоте: y = a и y = b. Пример такве функције је аркустангенс.

Права x = a је вертикална асимптота функције f ако било који од следећих услова важи:

  1. \lim_{x \to a^{-}} f(x)=\pm\infty
  2. \lim_{x \to a^{+}} f(x)=\pm\infty

Интуитивно, ако је x = a асимптота за f, онда ако x прилази a са једне стране, вредност f(x) расте без ограничења; тј, f(x) постаје врло велико (позитивно или негативно), и, у ствари, постаје веће од било које задате вредности.

Специфичан пример асимптота се може наћи код графика функције f(x) = 1/x, код кога се јављају две асимптоте: хоризонтална: y = 0 и вертикална: x = 0.

f(x) може али не мора бити дефинисано у тачки a: шта се са функцијом дешава тачно у тачки x = a се не тиче асимптоте. На пример, размотримо функцију

f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x} & \mbox{, } x > 0, \\ 5 & \mbox{,  } x \le 0 \end{cases}

Како \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \infty, f(x) има вертикалну асимптоту у 0, иако је f(0) = 5.

Асимптоте графика функције не морају да буду паралелне x или y оси, као што се може видети на графику f(x)=x +1/x, који има за асимптоте y осу, и праву y = x. Када асимптота није паралелна x или y оси, онда се она назива коса асимптота. Ако је y = mx + b, било која не-вертикална права, онда функција f(x) има асимптоту у њој ако

\lim_{x \to \infty} f(x)-(mx+b) = 0, или \lim_{x \to -\infty} f(x)-(mx+b) = 0

График функције може да има вертикалне, хоризонталне и косе асимптоте, као на пример код функције y=x^{|x|/x}+1/x.
Крива може да пресече своју асимптоту, чак и бесконачан број пута.

Друга значења[уреди]

За функцију f(x) се може рећи да је асимптотска функцији g(x) када x → ∞. Ово може да има неко од следећа четири различита значења:

  1. f(x) − g(x) → 0.
  2. f(x) / g(x) → 1.
  3. f(x) / g(x) има лимес различит од нуле.
  4. f(x) / g(x) је ограничено и не тежи нули. Види нотација великог O.
График функције може да има две хоризонталне асимптоте. Пример такве функције је y=\arctan(x).

Види још[уреди]