Астроида

Из Википедије, слободне енциклопедије
Напомена: Назив овог чланка могуће је помешати са Астероид.
Астроида
Конструкција астроиде

У математици, астроида је посебна врста криве: хипоциклоида код које је однос полупречника покретне и фиксиране кружнице једнак 1/4. Посматрамо кружницу полупречника r која се котрља по унутрашњој страни друге, фиксиране кружнице полупречника R=4r. Астроида је трајекторија проивољно изабране тачке на мањој кружници. То је, такође и супер елипса код које је n=2/3 и a=b.

Назив[уреди]

Порекло имена астроида може се наћи у грчкој речи за звезду. Ова крива је раније називана и кубоциклоидом и парациклом.

Једначина астроиде[уреди]

Параметарске једначине астроиде која настаје када је полупречник фиксираног круга једнак R добијамо из једначина хипоциклоиде. Ако искористимо да је m=1/4, биће:
x=R\cos^3t,\qquad y=R\sin^3t.
Елиминацијом параметра добијамо често употребљаван облик једначине астроиде:
x^{2/3} + y^{2/3} = R^{2/3}.
Астроида се може представити и једначином:
(x^2+y^2-R^2)^3+27R^2x^2y^2=0.

Основне особине[уреди]

Астроида је равна алгебарска крива са особином да јој је род једнак нули. Спада у алгебарске криве шестог реда, и има десет сингуларитета, од чега четири у реалној равни, који се налазе у врховима звезде и шест комплексних сингуларитета (2 у бесконачности и 4 двострука).

Еволута астроиде је такође астроида, слична датој, са коефицијентом сличности 2, дакле двоструко већа.

Дужина лука астроиде од тачке на позитивном делу x-осе, до произвољне тачке M(t) једнака је l=\frac32R\sin^2\frac t4. Дужина једне гране је l=\frac32R, а дужина целе криве l=6R

Дуж дужине једнаке полупречнику фиксиране кружнице којој једна крајња тачка клизи по x-оси, а друга по y-оси, је тангента астроиде, па је астроида омотач дужи константне дужине којима крајеви клизе по две међусобно нормалне праве.

Где се може видети астроида[уреди]

Стари лого компаније U.S. Steel садржао је три астроиде, плаву, жуту и црвену.

Данас се може видети на заштитном знаку Питсбург Стилерса, једног од познатијих рагби тимова.

Извори и литература[уреди]

Спољашње везе[уреди]