Ајзенштајнов критеријум

Из Википедије, слободне енциклопедије

У математици, Ајзенштајнов критеријум представља довољан услов да се каже да је неки полином нерастављив над скупом реалних бројева (или еквивалентно, над скупом целих бројева; види Гаусова лема).

Претпоставимо да имамо следећи полином са целобројним коефицијентима.

f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0.\,

Претпоставимо да постоји прост број p, такав да

  • p дели сваки ai за in
  • p не дели an
  • p2 не дели a0.

Тада је f(x) нерастављив.

Примери[уреди]

Посматрајмо g(x) = 3x4 + 15x2 + 10.

Тестирамо просте бројеве p: за p = 2, 2 не дели 15 а за p = 3, 3 не дели 10. Узимање p = 5 функционише, јер 5 дели 15, коефицијент од x, и 10, коефицијент уз x0. Такође, 5 не дели 3, водећи коефицијент. Коначно, 25 = 52 не дели 10. Значи, закључујемо да је g(x) нерастављив.

У неким случајевима није јасно који прост број да се узме, али се то може открити заменом променљиве y = x + a.

На пример, узмимо h(x) = x2 + x + 2. Ово изгледа тешко, јер ниједан прост број не дели 1, коефицијент уз x. Али ако заменимо h(x) са h(x + 3) = x2 + 7x + 14 видимо одмах да прост број 7 дели коефицијент уз x и коефицијент уз x0, и да 49 не дели 14. Тако смо увођењем смене задовољили Ајзенштајнов критеријум.