Банахова теорема о непокретној тачки

Из Википедије, слободне енциклопедије

Банахова теорема о непокретној тачки (такође позната као теорема о контракционом пресликавању или принцип контракционог пресликавања) је важан алат у теорији метричких простора; она гарантује постојање и јединственост непокретних тачака одређених пресликавања из неког метричког простора у самог себе, и даје конструктивни метод за проналажење тих непокретних тачака. Теорема је добила име по Стефану Банаху, (1892—1945), који ју је и изрекао 1922. године

Теорема[уреди]

Нека је (X, d) непразан комплетан метрички простор. Нека је T : XX контракција на X, то јест: постоји ненегативан реалан број q < 1, такав да

d(Tx,Ty) \le q\cdot d(x,y)

за свако x, y из X. Тада пресликавање T има једну и само једну непокретну тачку x* у X (ово значи да Tx* = x*). Штавише, та непокретна тачка може да се нађе на следећи начин: пође се од произвољног елемента x0 из X и дефинише се итеративни низ, као xn = Txn-1 за n = 1, 2, 3, ... овај низ конвергира, и лимес му је управо x*. Следећа неједнакост описује брзину конвергенције:

d(x^*, x_n) \leq \frac{q^n}{1-q} d(x_1,x_0).

Еквивалентно,

d(x^*, x_{n+1}) \leq \frac{q}{1-q} d(x_{n+1},x_n)

и

d(x^*, x_{n+1}) \leq q d(x_n,x^*).

Најмања вредност q се понекад назива Липшицовом константом.

Ваља уочити да захтев d(Tx, Ty) < d(x, y) за све различите x и y у општем случају није довољан да осигура постојање непокретне тачке, као што се види из пресликавања T : [1,∞) → [1,∞) са T(x) = x + 1/x, које нема непокретну тачку. Међутим, ако је простор X компактан, онда и ова слабија претпоставка имплицира све исказе теореме.

Када се теорема користи у пракси, обично је најтежи део да се дефинише X на такав начин да T заиста слика из X у X, то јест да је Tx увек елемент из X.

Доказ[уреди]

Узмимо било које x_0 \in (X, d). За свако n \in \{1, 2, \ldots\}, дефинишемо x_n = Tx_{n-1}\,\!. Тврдимо да за свако n \in \{1, 2, \dots\}, важи следеће:

d(x_{n+1}, x_n) \leq q^n d(x_1, x_0).

Да бисмо ово показали, користићемо индукцију. Горњи исказ је тачан за случај n = 1\,\!, за

d(x_{1+1}, x_1) = d(x_2, x_1) = d(Tx_1, Tx_0) \leq qd(x_1, x_0).

Претпоставимо да горње тврђење важи за неко k \in \{1, 2, \ldots\}. Тада имамо

d(x_{(k + 1) + 1}, x_{k + 1})\,\! = d(x_{k + 2}, x_{k + 1})\,\!
= d(Tx_{k + 1}, Tx_k)\,\!
\leq q d(x_{k + 1}, x_k)
\leq q \cdot q^kd(x_1, x_0)
= q^{k + 1}d(x_1, x_0)\,\!.

По индукцији, горње тврђење важи за свако n \in \{1, 2, \ldots\}.

Нека је \epsilon > 0\,\!. Како је 0 \leq q < 1, можемо да нађемо велико N \in \{1, 2, \ldots\} тако да

q^N < \frac{\epsilon(1-q)}{d(x_1, x_0)}.

Користећи горње тврђење, за свако m\,\!, n \in \{0, 1, \ldots\} где је m > n \geq N, имамо

d\left(x_m, x_n\right) \leq d(x_m, x_{m-1}) + d(x_{m-1}, x_{m-2}) + \cdots + d(x_{n+1}, x_n)
\leq q^{m-1}d(x_1, x_0) + q^{m-2}d(x_1, x_0) + \cdots + q^nd(x_1, x_0)
= d(x_1, x_0)q^n \cdot \sum_{k=0}^{m-n-1} q^k
< d(x_1, x_0)q^n \cdot \sum_{k=0}^\infty q^k
= d(x_1, x_0)q^n \frac{1}{1-q}
= q^n \frac{d(x_1, x_0)}{1-q}
< \frac{\epsilon(1-q)}{d(x_1, x_0)}\cdot\frac{d(x_1, x_0)}{1-q}
= \epsilon\,\!.

Неједнакост у првој линији следи из узастопне примене неједнакости троугла; ред у четвртој линији је геометријски ред са 0 \leq q < 1 и стога конвергира. Горе се види да је \{x_n\}_{n\geq 0} Кошијев низ у (X, d)\,\! и стога конвергира по комплетности. Значи, нека је x^* = \lim_{n\to\infty} x_n. Уводимо два тврђења: (1) x^*\,\! је непокретна тачка за T\,\!. То јест, Tx^* = x^*\,\!; (2) x^*\,\! је једина непокретна тачка за T\,\! у (X, d)\,\!.

Да би се видело (1), уочавамо да за свако n \in \{0, 1, \ldots\},

0 \leq d(x_{n+1}, Tx^*) = d(Tx_n, Tx^*) \leq q d(x_n, x^*).

Како је qd(x_n, x^*) \to 0 за n \to \infty, теорема о два полицајца показује да \lim_{n\to\infty} d(x_{n+1}, Tx^*) = 0. Ово показује да x_n \to Tx^* када n \to \infty. Међутим x_n \to x^* када n \to \infty, и лимеси су јединствени; стога мора да важи x^* = Tx^*\,\!.

Да би се показало (2), претпоставимо да y\,\! такође задовољава једнакост Ty = y\,\!. Тада

0 \leq d(x^*, y) = d(Tx^*, Ty) \leq q d(x^*, y).

Ако се сетимо да 0 \leq q < 1, горњи исказ имплицира да 0 \leq (1-q) d(x^*, y) \leq 0, што показује да d(x^*, y) = 0\,\!, одакле по позитивној дефинитности следи x^* = y\,\! и доказ је комплетан.

Примене[уреди]

Стандардна примена је доказ Пикард-Линделефове теореме о постојању и јединствености решења одређених ординарних диференцијалних једначина. Тражено решење диференцијалне једначине се изрази као непокретна тачка погодног интегралског оператора који трансформише непокретне функције у непокретне функције. Банахова теорема о непокретној тачки се затим користи да покаже да овај оператор има јединствену непокретну тачку.

Обратна тврђења[уреди]

Постоји неколико обратних тврђења за Банахов принцип контракције. Следи један који је дао Чеслав Бесага (Czesław Bessaga):

Нека је f:X\rightarrow X пресликавање апстрактног скупа, такво да свака итерирана функција f n има јединствену непокретну тачку. Нека је q реалан број, 0 < q < 1. Онда постоји комплетан метрички простор на X, такав да је f контрактивна, и q је контракциона константа.

Литература[уреди]

  • Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, the Netherlands (1981). ISBN 90-277-1224-7 See chapter 7.
  • Andrzej Granas and James Dugundji, Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-00173-5.
  • Kirk, William A.; Khamsi, Mohamed A. (2001). An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theory. John Wiley, New York.. . ISBN 978-0-471-41825-2.. 
  • William A. Kirk and Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001), Kluwer Academic, London ISBN 0-7923-7073-2.

Овај чланак је делом заснован на чланку који се може наћи на страници Planet Math и представља отворен садржај.