Биномна теорема

Из Википедије, слободне енциклопедије
Биномни коефицијенти се појављују као елементи Паскаловог троугла.

Биномна теорема је теорема елементарне алгебре и описује коефицијенте степена бинома када је он представљен у развијеној форми. По овој теореми, могуће је представити израз (x + y)n сумом сабирака облика axbyc, где су коефицијенти a позитивни цели бројеви, при чему је збир експонената x и y једнак n за сваки сабирак. На пример:

(x+y)^4 \;=\; x^4 \,+\, 4 x^3y \,+\, 6 x^2 y^2 \,+\, 4 x y^3 \,+\, y^4.

Коефицијенти који се појављују у биномном развоју називају се биномни коефицијенти. Они су идентични бројевима који се појављују у Паскаловом троуглу. Ови бројеви се могу израчунати једноставном формулом која користи факторијел.

Исти ови коефицијенти се јављају у комбинаторици, где је израз xnkyk једнак броју различитих комбинација k елемената који се бирају из скупа од n чланова.

Формуле[уреди]

Коефицијент који стоји уз xnkyk дат је формулом:

{n \choose k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}

која је дефинисана уз помоћ функције факторијела n!. Ова формула се може написати и на следећи начин:

{n \choose k} = \frac{n (n-1) \cdots (n-k+1)}{k (k-1) \cdots 1} = \prod_{\ell=1}^k \frac{n-\ell+1}{\ell}

где су k фактори и у имениоцу и у бројиоцу разломка. Иако се у овој формули користи разломак, биномни коефицијенти су цели бројеви.

Исказ теореме[уреди]

Сваки степен израза x + y могуће је представити у форми:


\begin{align}
(x+y)^n & = {n \choose 0}x^n y^0 + {n \choose 1}x^{n-1}y^1 + {n \choose 2}x^{n-2}y^2 + {n \choose 3}x^{n-3}y^3 + \cdots \\
& {} \qquad \cdots + {n \choose n-1}x^1 y^{n-1} + {n \choose n}x^0 y^n,
\end{align}

где  \tbinom nk означава одговарајући биномни коефицијент. Други начин записивања ове формуле је:

(x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^{n-k}y^k.


Спољашње везе[уреди]