Болцано-Вајерштрасова теорема

Из Википедије, слободне енциклопедије

Болцано-Вајерштрасова теорема за скупове[уреди]

Дефиниција[уреди]

  • 2. Сваки бесконачан скуп у \mathbb{R} има бар једну тачку нагомилавања у \overline{ \mathbb{R}} = \mathbb{R} \cup \{+ \infty, - \infty \}.

Доказ[уреди]

  • 1. Нека је скуп A \subset \mathbb{R} бесконачан и ограничен. Пошто је ограничен, значи да A \subset I_0 за неки одсечак I_0 =[a,b]. Поделимо дати одсечак на два дела, тачком  T_1 = \frac{a+b} {2}. Пошто је скуп A бесконачан, у бар једном од одсечака [a,\frac{a+b}{2}] и [\frac{a+b}{2},b] ће се наћи бесконачно много чланова скупа A. Означимо тај одсечак са I_1 =[a_1,b_1]. Понављајући тај поступак, добијамо одсечке I_2, I_3, ..., тј. бесконачни низ уметнутих одсечака (I_n), од којих сваки од ових одсечака садржи бесконачно много елемената скупа A.

Из Канторовог принципа уметнутих одсечака, бесконачан низ уметнутих одсечака има непразан пресек, а тај пресек је нека тачка која ће припадати свим одсечцима.

Означимо са  x тачку која ће припадати свим одсечцима (I_n).

Како Важи:

(\forall \epsilon >0) (\forall n \in \mathbb{N}) (\exists n_0 \in \mathbb{N}) (n > n_0 \Rightarrow \frac{a+b} {2^n} < \epsilon),

што значи да ће за свако произвољно одабрано \epsilon >0, постојати довољно велико n_0 , тако да ће се сви одсечци почев од I_{n_0} налазити у околини  x- \epsilon, x+ \epsilonтачке  x, а како сваки од тих одсечака има бесконачно много чланова, то се према дефиницији тачке нагомилавања скупа, закључује да је тачка  x тачка нагомилавања скупа A, што је и требало показати.

  • 2.

Ако је скуп A ограничен, доказ о постојању његове тачке нагомилавања је управо изведен.

Ако је скуп A неограничен, то се из дефиниције тачака + \infty и - \infty закључује да је онда једна од њих тачка нагомилавања скупа A. Тиме је доказ завршен.


Види још[уреди]

Литература[уреди]

  • Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.