Боров модел атома

Из Википедије, слободне енциклопедије
Боров модел атома водоника. Атомско језгро је зелено, електрони плави а емитовани фотон црвен. Електронске орбите представљене су испрекиданим црним линијама; радијус орбита расте као n2, где је n главни квантни број. Из приказаног прелаза 3→2 настаје фотон таласне дужине 656 nm, што одговара првој линији Балмерове серије.

Боров модел атома представља атом са малим позитивно наелектрисаним језгром око којег се електрони крећу у кружним орбитама слично кретању планета око Сунца. Дакле, по Боровом моделу атом је сличан планетарном систему с том разликом што привлачна сила потиче од електростатичке интеракције а не од гравитације. Главни успех модела, који је предложио Нилс Бор 1913. године, је објашњење Ридбергове формуле за спектралне емисионе линије атомског водоника. Ридбергова формула је експериментално од раније била позната али је тек Боровим моделом била квантитативно теоријски објашњена и повезана са основним особинама атома.

Историја[уреди]

Из Радерфордових експеримената постало је јасно да су позитивно наелектрисање и маса атома концентрисани у центру атома око којег се налази дифузни облак електрона, носиоца негативног наелектрисања. Из тога се природно наметнуо планетарни модел атома у којем се електрони крећу око језгра попут планета око сунца. Међутим, планетарни модел атома наилазио је на бројне потешкоће у погледу објашњења стабилности атома и природе атомских спектара. На пример, према класичним законима електродинамике, наелектрисање у кружној путањи мора да емитује електромагнетно зрачење губећи при томе енергију. Тако би и електрон у кружној орбити око језгра требало непрекидно да емитује зрачење. При томе би због губитка енергије његова путања требало да буде спирални пад у атомско језгро, а емитовано зрачење континуално, јер се енергија емитера непрекидно смањује. Међутим још крајем 19. века у бројним експериментима са електричним пражњењем у разређеним гасовима, показано је да атоми емитују зрачење на дискретним, добро дефинисаним фреквенцијама.

Проблем примене класичне електродинамике на атомске системе Бор је решио предложивши теорију која је успешно објаснила спектре једноелектронских атома.

Немогућност теорија класичне физике да објасне атомске феномене је потом још више дошла

до изражаја напретком нашег знања о структури атома. Радерфордово откриће атомског језгра (1911 г.) је одједном открило непогодност појмова класичне механике и класичног магнетизма да објасне стабилност атома. И овде је опет квантна теорија дала кључ за разјашњење ситуације, а, посебно, постало је могуће објашњење атомске стабилности, као и емпиријских закона који управљају спектрима елемената, полазећи од претпоставке да се свака реакција атома у којој долази до измене енергије догађа у потпуности преко прелаза између тзв. стационарних стања, и да спектри настају у степенастим процесима у којима је сваки прелаз праћен емисијом монохроматског светлосног кванта.

Нилс Бор

Основне црте теорије могу се изложити у облику Борових постулата (претпоставки):

  1. Кулонова сила саопштава планетарном електрону центрипетално убрзање потребно за динамички стабилну кружну путању.
  2. Дозвољене су само оне орбите код којих је момент импулса, L, (угаони момент) електрона целобројни умножак ℏ где је ℏ = h/2π: L = nℏ, n = 1, 2, ... и h Планкова константа.
  3. Електрон који се креће по стабилној орбити не зрачи.
  4. Емисија или апсорпција зрачења дешава се само приликом преласка електрона из једне орбите у другу.

Првим постулатом прихваћен је планетарни модел атома као и чињеница да су доминантне интеракције у атому електростатичке природе. Из другог постулата следи да је поред наелектрисања и енергије у атомским системима квантован и момент импулса. Трећи постулат одбацује проблематичну тврдњу да наелектрисање у убрзаном кретању мора да зрачи у атомским системима упркос њеној ваљаности у макроскопском свету. Четврти постулат успоставља везу са Планковом теоријом зрачења, пошто је фреквенција фотона који се емитује или апсорбује дата енергијском разликом два стања подељеном са h.

Енергијски нивои електрона у атому водоника[уреди]

Боров модел је тачан само за једноелектронске системе попут водониковог атома или једнотруко јонизованог хелијума. Такође може да се користи за прелазе код К-линија х-зрака ако се уведу додатни услови (видети доле Молсијев закон). У овом одељку изведене су формуле за енергијске нивое водониковог атома на основу Боровог модела.

Извођење почиње са три једноставне претпоставке:

1) Енергија електрона у орбити је сума његове потенцијалне и кинетичке енергије:
E \, =E_{kin} + E_{pot} \,
= \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}m_e v^2 - \frac{k q_e^2}{r}\quad \quad \quad \quad \quad (1)
где је k = 1 / ({4 \pi \epsilon _0}), а q_e наелектрисање електрона.
2) Момент импулса електрона може имати само одређене дискретне вредности:
L = m_e v r = n \frac{h}{2 \pi} = n \hbar \quad \quad \quad \quad \quad (2)
где је n главни квантни број, n = 1,2,3,…, h Планкова константа, и \hbar=h/(2\pi).
3) Електрон у орбити одржава Кулонова сила, дакле, Кулонова сила једнака је центрипеталној сили:
\frac{kq_e^2}{r^2} = \frac{m_e v^2}{r} \quad \quad \quad \quad \quad (3)\,

Помножимо ли обе стране једначине (3) са r

\frac{kq_e^2}{r} = m_e v^2 \quad \quad \quad \quad \quad (4) \,

са леве стране добијамо израз за потенцијалну енергију чијом заменом у једначини (1) налазимо да је укупна енергија електрона у орбити

E = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix}m_e v^2 - \frac{k q_e^2}{r} = -\begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} m_e v^2 \,\quad \quad \quad \quad \quad (5)

Сада треба да нађемо брзину електрона v. Решавањем једначине (2) по r налазимо,

r = \frac{n \hbar}{m_e v}. \,

што заменом у једначини (4) даје,

k q_e^2 \frac{m_e v}{n\hbar} = m_e v^2 \,

Дељењем обе стране са mev налазимо брзину електрона у атомској орбити

\frac{k q_e^2}{n \hbar} = v \,

Заменом ове вредности за брзину v у изразу за енергију, (5), а такође и вредности за k и \hbar, налазимо да енергија електрона у орбитама атома водоника има дискретне вредности које зависе од главног квантног броја, n:

E _n \, = \frac{-1}{2} m_e \left(\frac{k q_e^2}{n \hbar} \right)^2 \,
= \frac{-1}{2} m_e \left(\frac{1}{4 \pi \epsilon_0} q_e^2 \frac{2 \pi}{n h} \right)^2 \,
= \frac{-m_e q_e^4}{8 h^2 \epsilon_{0}^2} \frac{1}{n^2} \,

Или заменом нумеричких вредности за константе,

E_n = (-13.6 \ \mathrm{eV}) \frac {1}{n^2} \,

Дакле, најнижи енергијски ниво водоника (n = 1) је око -13,6 eV. Следећи енергијски ниво (n = 2) је на -3,4 eV. Трећи (n = 3) је на -1,51 eV, и тако даље. Треба уочити да су све енергије негативне што значи да се електрон налази у везаном стању са атомским језгром (у овом случају протоном). (Позитивне енергије одговоарају јонизованом атому, дакле, атому за који електрон више није везан.

Енергија и друге константе[уреди]

Пошавши од онога што је горе већ нађено

E_n = \frac{-m_e q_e^4}{8 h^2 \epsilon_{0}^2} \frac{1}{n^2} \,

и проширујући разломак са c^2, налазимо

E_n = \frac{-m_e c^2 q_e^4}{8 h^2 c^2 \epsilon_{0}^2} \frac{1}{n^2} \,

или преуређивањем

E_n = -\frac{1}{2} m_e c^2 \left(\frac{q_e^4}{4 h^2 c^2 \epsilon_{0}^2} \right) \frac{1}{n^2}

Одавде можемо да изразимо енергијске нивое преко осталих константи:

E_n = \frac{-E_r\alpha^2}{2n^2}

где је,

E_n \ енергијски ниво електрона у атому
E_r \ енергија масе мировања електрона
\alpha \ константа фине структуре
n \ главни квантни број.

Ридбергова формула[уреди]

Ридбергова формула, која је била емпиријски позната пре Борових једначина, у светлу Борове теорије може се схватити да описује енергије квантних прелаза између добро дефинисаних енергијских нивоа. Борова формула даје нумеричке вредности већ познате и мерене Ридбергове константе, али сада изражене преко фундаменталних константи природе, укључујући и наелектрисање електрона и Планкову константу.

Када електрон прелази са вишег енергијског нивоа на нижи долази до емисије фотона. Коришћењем изведених формула за енергијске нивое водониковог атома могуће је израчунати таласне дужине фотона које овај атом емитује.

Енергија емитованог фотона једнака је разлици енергија нивоа међу којима долази до електронског прелаза:

E=E_i-E_f=\frac{m_e q_e^4}{8 h^2 \epsilon_{0}^2} \left(\frac{1}{n_{f}^2} - \frac{1}{n_{i}^2} \right) \,

где је qe наелектрисање електрона (1,60 × 10−19 C), nf је коначни ниво (final), а ni главни квантни број почетног (initial) енергијског нивоа. Нормално, почетни ниво је ниво са већом енергијом.

Пошто је енергија фотона:

E=\frac{hc}{\lambda}, \,

његова таласна дужина је:

\frac{1}{\lambda}=\frac{m_e q_e^4}{8 c h^3 \epsilon_{0}^2} \left(\frac{1}{n_{f}^2} - \frac{1}{n_{i}^2} \right). \,

што представља Ридбергову формулу. Ова формула, где су све нумеричке константе биле стопљене у једну, Ридбергову константу, R, је емпиријски била тачно измерена и позната у спектроскопији још крајем деветнаестог века. Међутим, теоријског објашњења и њене везе са другим фундаменталним константама није било док Бор није извео једначине, мање више као што је показано горе.

Мозлијев закон[уреди]

Године 1913. Хенри Мозли је нашао везу између фреквенције најјаче линије Х-зрачења, које емитује метална мета бомбардована електронима, и атомског броја мете, Z. Показало се да се Мозлијева емпријска формула може извести из Ридбергове и Борове формуле мада Мозли у свом раду помиње само моделе Радерфорда и Ван ден Брука. Мозлијев закон може из Борове формуле да се изведе ако се претпостави да [1] линија Х-зрачења потиче од прелаза с n = 2 на n = 1 и [2], да се атомски број Z за атоме теже од водоника умањи за 1, на :(Z-1)2. Ову другу претпоставку Бор је објаснио заклањањем наелетрисања језгра електроном заосталим у најнижој орбити. Мозли се није упуштао у објашњење овг ефекта заклањања (који је много изразитији за L-алфа прелазе који потичу из прелаза 3→2) нити у основни механизам порекла зрачења који је постао јасан тек касније када је била уочена структура електронских љуски.

У Боровој формули за атом водоника, показаној горе, наелектрисање q4 је производ електронског наелектрисања q2 и наелектрисања језгра (Zq)2 = q2 Z2. Наелектрисање језгра Z2 може онда да се покаже у формули као неименован број.

Мозлијев закон за K-алфа линије добија се следећим преуређивањем Борових једначина:

E= h\nu = E_i-E_f=\frac{m_e q_e^4 (Z-1)^2}{8 h^2 \epsilon_{0}^2} \left(\frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right) \,

или

f = \nu = \frac{m_e q_e^4 }{8 h^3 \epsilon_{0}^2} \left(\frac{3}{4}\right) (Z-1)^2 = (2.46 \times 10^{15} Hz)(Z-1)^2 \,

До овог последњег израза Мозли је дошао емпиријски цртањем корена фреквенције Х-зрака у функцији атомског броја чиме је, преко Радерфорд-Боровог модела атома, довео у везу атомски број са наелектрисањем језгра.

Недостаци[уреди]

Боров модел атома дао је теоријско објашњење стабилности атома, спектра зрачења атома и димензија атома – то су три најбитнија елемента која су дала значај овој теорији.

Основни недостатак Борове теорије је недоследност. Она претпоставља постојање само неких могућих стабилних стања атома, односно, квантних стања; у тим стањима електрон не емитује зрачење иако се креће по крузној путањи. То је по класичној физици немогуће, тј. према Боровој теорији за кретање електрона у атому не важе закони класичне електродинамике. С друге стране, кретање електрона објашњава се законима класичне механике.

Борова теорија је представљала значајну прелазну етапу између класичне физике и нове квантне теорије. Класична теорија није могла да објасни низ појава у микросвету и у том домену је постала неупотребљива. Са Планком и Бором почео је и развој квантне механике – комплетније теорије која добро објашњава појаве у атомима, молекулима, кристалима.

Боров модел атома је потиснуо модел валентних љуски. Међутим, иако је Боров модел застарела научна теорија, због своје једноставности и коректних резултата у неким случајевима, он се често предаје на увидном курсевима квантне механике.

Побољшања[уреди]

\oint p dq = nh

Видети[уреди]

Види још[уреди]

  • Linus Pauling (1985). General Chemistry, Chapter 3 (3rd ed). Dover Publications.  Опис Боровог модела, погодан за средњошколски и факултетски ниво.
  • George Gamow (1985). Thirty years that shook Physics, Chapter 2. Dover Publications.  Опис Боровог модела у контексту развоја квантне механике, погодно за средњошколски и факултетски ниво.
  • Lehmann, Walter J. (1972). Atomic and Molecular Structure: the development of our concepts, chapter 18. John Wiley and Sons.  Добра објашњења, погодно за средњошколски и факултетски ниво.
  • Paul Tipler and Ralph Llewellyn (2002). Modern Physics (4th ed.). W. H. Freeman. ISBN 0-7167-4345-0. 
  • С. Мацура, Ј. Радић-Перић, АТОМИСТИКА, Факултет за физичку хемију Универзитета у Београду/Службени лист, Београд, 2004., стр. 89.

Литература[уреди]

Историјска[уреди]

  • Niels Bohr (1913). „On the Constitution of Atoms and Molecules (Part 1 of 3)“. Philosophical Magazine 26: 1-25. 
  • Niels Bohr (1913). „On the Constitution of Atoms and Molecules, Part II Systems Containing Only a Single Nucleus“. Philosophical Magazine 26: 476-502. 
  • Niels Bohr (1913). „On the Constitution of Atoms and Molecules, Part III“. Philosophical Magazine 26: 857-875. 
  • Niels Bohr (1914). „The spectra of helium and hydrogen“. Nature 92: 231-232. 
  • Niels Bohr (1921). „Atomic Structure“. Nature. 
  • A. Einstein (1917). „Zum Quantensatz von Sommerfeld und Epstein“. Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 19: 82-92.  Репринт у The Collected Papers of Albert Einstein, превод на енглески А. Енгел, (1997) Princeton University Press, Princeton. 6, pp. 434.}- (Даје елегантну реформулацију Бор-Зомерфелдових услова квантизације, као и важан увид у квантизацију неинтеграбилних (хаотичних) динамичких система.)

Спољашње везе[уреди]

Викиостава
Викимедијина остава има још мултимедијалних датотека везаних за: Боров модел атома