Бретшнајдерова формула

Из Википедија

Четвороугао

Бретшнајдерова формула се користи у геометрији и одређује површину четвороугла, и гласи

$P = \sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \cos^2 \frac{\alpha+\gamma}{2}},$

при чему су, a, b, c и d странице четвороугла, s је половина обима четвороугла, а $\alpha\,$ и $\gamma\,$ наспрамни углови.

Бретшнајдерова формула даје површину четвороугла без обзира да ли је он тетиван или није.

[уреди] Доказ

Означићемо површину четвороугла са P. Онда важи

$\begin{align} P &= \text{povrsina } \triangle BDC + \text{povrsina } \triangle ADB \\ &= \tfrac{1}{2}ab\sin \gamma + \tfrac{1}{2}cd\sin \alpha \end{align}$

Одатле је

$4P^2 = (ab)^2\sin^2 \gamma + (cd)^2\sin^2 \alpha + 2abcd\sin \alpha\sin \gamma. \,$

Према косинусној теореми важи

$a^2 + b^2 -2ab\cos \gamma = c^2 + d^2 -2cd\cos \alpha, \,$

пошто су обе стране израза једнаке квадрату дужине дијагонале BD.

Уколико прегрупишемо сабирке и квадрирамо обе стране, једнакост можемо записати на следећи начин:

$\tfrac14 (c^2 + d^2 - a^2 - b^2)^2 = (ab)^2\cos^2 \gamma +(cd)^2\cos^2 \alpha -2 abcd\cos \alpha\cos \gamma. \,$

Уколико то саберемо са горњом формулом за $4 P 2$ добијамо

$4P^2 + \tfrac14 (c^2 + d^2 - a^2 - b^2)^2 = (ab)^2 + (cd)^2 - 2abcd\cos (\alpha+\gamma). \,$

После сређивања, биће:

$16P^2 = 4(a^2b^2 + c^2d^2) - (c^2 + d^2 - a^2 - b^2)^2 - 8abcd\cos (\alpha+\gamma). \,$

Уколико први члан збира са десне стране допунимо до квадрата бинома, добијамо:

$16P^2 = 4(ab + cd)^2 - (c^2 + d^2 - a^2 - b^2)^2 - 8abcd[1+\cos (\alpha+\gamma)]. \,$

Ако затим, раставимо разлику квадрата са десне стране једнакости и применимо формулу за половину угла на трећи сабирак, добијамо:

$16P^2 = [2(ab + cd) - (c^2 + d^2 - a^2 - b^2)][2(ab + cd) + (c^2 + d^2 - a^2 - b^2)] - 16abcd \cos^2 \frac{\alpha+\gamma}2, \,$

односно

$16P^2 = [(a + b)^2 - (c - d)^2][(c + d)^2 - (a - b)^2] - 16abcd \cos^2 \frac{\alpha+\gamma}2. \,$

Претходну једнакост можемо записати и овако:

$16P^2 = (a+b+c-d)(a+b-c+d)(c+d+a-b)(c+d-a+b) - 16abcd \cos^2 \frac{\alpha+\gamma}2.$

Узевши у обзир да је полуобим четвороугла

$s = \frac{a+b+c+d}{2},$

добијамо

$16P^2 = 16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - 16abcd \cos^2 \frac{\alpha+\gamma}2$

одакле следи Бретшнајдерова формула.

[уреди] Повезаност са другим формулама

Бретшнајдерова формула је уопштење формуле Брамагупте за површину тетивног четвороугла, а ова је уопштење Хероновог обрасца који се користи за израчунавање површине троугла.