Вајлов закон

Из Википедије, слободне енциклопедије

У математици, Вајлов закон је општи назив за асимптотску формулу која описује густину спектра дате Риманове многострукости. Носи име немачког математичара Хермана Вајла, који ју је доказао за случај домена у еуклидској равни.

Увод[уреди]

У основном облику, Вајлов закон се односи на компактне Риманове многострукости. У хармонијској анализи, функције дефинисане на таквој многострукости M разлажемо на компоненте на којима извесни диференцијални оператори имају посебно једноставно, „чисто“ дејство. Најједноставнији пример оваквог расуђивања имамо у Фуријеовој анализи, у којој периодичне реалне функције ("сигнале") разлажемо на елементарне синусне и косинусне компоненте ("просте осцилације"):

f(x) = a0 + ∑n≥1 ( an cos(nx) + bn sin(nx) ).

Тригонометријске функције су овде својствене функције диференцијалног оператора Δ = d2 / dx2 на простору L2. Али не појављују се све такве својствене функције у горњем развоју, већ само оне код којих је индекс n цео број. Ово одсликава природу простора на којем је f дефинисана: за функцију периода (рецимо) 2π, можемо сматрати да је дефинисана на интервалу [0,2π] при чему се крајње тачке 0 и 2π идентификују: другим речима, на кругу (који је, пак, компактна Риманова многострукост S1 димензије 1).

На Римановим многострукостима, Лаплас-Белтрамијев оператор ΔM, диференцијални оператор другог реда, се дефинише као дивергенција градијента. Лаплас-Белтрамијев оператор је симетричан и може се исказати у локалним координатама (ui) користећи метрички тензор (gij) и Кристофелове симболе Γkij као

\Delta_Mf=\sum_{i,j}g^{ij}\left(\frac{\partial^2f}{\partial u^i\partial u^j}-\Gamma^k_{ij}\frac{\delta f}{\delta u^k}\right).

Лапласијан садржи у себи важне информације о геометрији многострукости M, и његове својствене функције, дакле функције φ ∈ L2(M) такве да је

ΔMφ = λφ

су елементарни блокови за хармонијску анализу на овом простору. Као и у једноставном примеру M = S1, свака функција у L2(M) се може разложити у збир својих простих компоненти. Схватање о важности својствених функција за разумевање геометрије простора M популарисао је Марк Кац у свом познатом мемоару „Можемо ли чути облик бубња?". Њихове одговарајуће својствене вредности λ чине спектар Spec(ΔM) простора M. Ако је M компактна многострукост, својствених вредности има пребројиво много и оне чине дискретан растући низ

0 ≤ λ1 ≤ λ2 ≤...≤ λn ≤...→+∞.

Исказ[уреди]

Вајлов закон је асимптотска формула за тзв. бројачку функцију спектра

N(λ) = # { λj ∈ Spec(ΔM) : λj ≤ λ }.

Она нам говори колико својствених вредности можемо очекивати у неком интервалу великих вредности ("високе енергије"). Најпознатији Вајлов закон је теорема Хермандера, која за број својствених вредности Лапласијана на компактној Римановој многострукости M димензије n даје асимптотску формулу

N(λ) = cn vol(M) λn/2 + O( λ(n-1)/2 ),

где је cn константа која зависи једино од димензије n.

Први закон ове врсте доказао је Херман Вајл за домене у еуклидској равни. Чињеницу да је водећи члан пропорционалан запремини површи предвиђали су још раније физичари полазећи од односа класичне и квантне механике!

Асимптотска формула за N(λ) је утолико квалитетнија уколико је О-оцена за остатак R(λ) = N(λ) - cnvol(Mn/2 боља. У пуној општости, Хермандерова оцена се не може побољшати као што показује пример сфере Sn. Питање оптималне оцене (односно, стварне стопе раста) за R(λ) још увек није у потпуности схваћено и зависи од својстава геодезијског тока на (јединичном тангентном снопу) многострукости M. На пример, многострукости са комплетно интеграбилним током и оне код којих је геодезијски ток ергодички имају потпуно другачију природу.

Пример[уреди]

На пример, ако је M торус T2 = R2 / Z2, Лапласов оператор Δ = ∂2/∂x2 + ∂2/∂y2 делује на функције на T2, односно (са идентификацијом аналогном као у случају интервала) на функције два реална аргумента периодичне са периодом 1 по свакој променљивој. Својствене функције су стандардне експоненцијалне функције e2πi(mx+ny), са одговарајућом својственом вредношћу 4π2(m2+n2). У овом случају, N(λ) представља број „целобројних“ тачака (тј. чије су обе координате цели бројеви) унутар круга полупречника λ1/2 / 2π, и питање налажења асимптотске формуле за N(λ) са оптималном оценом остатка јесте класични Гаусов проблем круга.

Уопштења и варијанте[уреди]

Асимптотске формуле за величину

Nx(λ) = ∑λj ≤ λ |φj(x)|2

називају се локалним Вајловим законом (где својствене функције φj чине ортонормирани систем). Притом је ∫M Nx(λ) dx = N(λ). Вајлов закон и локални Вајлов закон су основне алатке у спектралној анализи на M.

Варијанте Вајловог закона познате су и за неке не-компактне Риманове многострукости, конкретно локално симетричне просторе ранга 1 и коначне запремине. На пример, ако је h хиперболичка горња полураван и Γ дискретна група изометрија на h извесног типа (тзв. Фуксова група прве врсте), тада је M = Γ \ h хиперболичка површ коначне запремине, и спектар Лапласијана има осим дискретног и непрекидни део. Вајлов закон у овом контексту гласи

\sum_{\lambda_j\leq\lambda}1+\frac1{4\pi}\int_{-\sqrt{\lambda}}^{\sqrt{\lambda}}\frac{-\varphi'}{\varphi}(1/2+it)\,\mbox{d}t=\frac{\mbox{vol}(M)}{4\pi}\lambda-\frac{h}{2\pi}\sqrt{\lambda}\log\lambda+c_{\Gamma}\sqrt{\lambda}+O(\sqrt{\lambda}/\log\lambda),

где φ (детерминанта „матрице расејања"), h (број шиљака) и cΓ зависе једино од групе Γ, и параметру 1/2+it одговара својствена вредност 1/4+t2, што објашњава границе интеграције. У општем случају дискретни и непрекидни део спектра увек доприносе заједно. Међутим, ако је Γ аритметичка група, φ се може изразити преко Л-функција и показује се да главу тежину у горњој асимптотској формули заиста носи дискретни део спектра. Одговарајуће својствене функције су Масове шиљкасте форме, кључан објекат модерне аналитичке теорије бројева.