Ваљак (геометрија)

Из Википедије, слободне енциклопедије

Ваљак или цилиндар (од грчке речи kýlindros — котрљати, ваљати) је конвексно геометријско тело. Може се дефинисати помоћу једне елипсе и дужи у простору. Уколико се једно теме дате дужи постави у центар дате елипсе, а елипса непрекидно умножава дуж ње, добијено тело ће бити управо ваљак. Притом су радијуси ове елипсе такође радијуси ваљка, дужина дате дужи је дужина изводнице ваљка, а растојање између равни којима припадају две најудаљеније елипсе висина ваљка. Права којој припада дата дуж се назива оса ваљка. Елипса од које је развој тела кренуо се назива база ваљка. Површ која ограничава ваљак, када му се одузму две елипсе са центрима у теменима дате дужи, се зове омотач ваљка.

Уколико је оса ваљка нормална на базу ваљка, тело се зове прави ваљак, код кога су дужине изводнице и висине једнаке. У супротном се ради о косом ваљку, чија је изводница увек дужа од висине. Зависно од тога да ли је база права елипса или круг, ваљак се зове елиптични, односно кружни ваљак.

Особине ваљка[уреди]

Прави и коси кружни ваљак

Као геометријско тело, ваљак има своју површину и запремину.

Површина ваљка[уреди]

Површина ваљка (P) се одређује као збир површине омотача ваљка и двострука површина његове базе. Површина омотача се одређује као производ дужина обима базе и изводнице ваљка. Општа формула за површину ваљка гласи:

P = 2P(B) + P(M)\,

При чему P(B) представља површину базе, а P(M) површину омотача ваљка. Површина омотача је већ описана као:

P(M) = O(B) \cdot l = 2r\pi \cdot l

При чему треба водити рачуна да код правог ваљка важи и h=l. Код косих ваљака изводница не мора увек бити дата експлицитно. Могуће ју је израчуати помоћу дужине висине (h) и једног угла. Обично је то угао између базе и осе ваљка, или његов комплемент, тј. угао између нормале на базу и осе ваљка. Тако се могу издвојити две формуле:

h = l \cdot \sin\alpha, илити l = \frac{h}{\sin\alpha}
h = l \cdot \cos (\pi / 2 - \alpha), или l = \frac{h}{\cos (\pi / 2 - \alpha)}

Запремина ваљка[уреди]

Запремина ваљка (V) се одређује као производ површине базне елипсе и висине ваљка. Њена општа формула би гласила:

V = B \cdot h

Где B представља површину базе, а h висину ваљка. Висина ваљка није увек дата експлицитно, и може се одредити помоћу дужине изводнице и једног угла, као што је то описано у претодном заглављу.

Изведене формуле[уреди]

Ознаке су: r за полупречник кружне базе, h за висину ваљка, l за дужину изводнице и α за угао између базе и осе ваљка.

За прави кружни ваљак:

P = 2P(B) + P(M) = 2(r^2\pi) + 2r\pi \cdot h = 2r\pi \left (r + h \right )
V = P(B)\cdot h = (r^2\pi)\cdot h

За коси кружни ваљак:

P = 2P(B) + P(M) = 2(r^2\pi) + 2r\pi \cdot l = 2r\pi \left (r + l \right ) = 2 r \pi \left (r + \frac{h}{\sin \alpha} \right )
V = r^2 \pi \cdot h = r^2 \pi \cdot l \sin \alpha

Спољашње везе[уреди]

Викиостава
Викимедијина остава има још мултимедијалних датотека везаних за: Ваљак (геометрија)