Вијетова формула

Напомена: Назив овог чланка могуће је помешати са Вијетове формуле.

У математици, Вијетова формула, која носи своје име по француском математичару Франсоа Вијету, је следећа репрезентација математичке константе π у облику бесконачног производа:

$\frac2\pi= \frac{\sqrt2}2\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2\cdots$

Израз са десне стране једнакости треба тумачити као граничну вредност

$\lim_{n \rightarrow \infty} \prod_{i=1}^n {a_i \over 2}=\frac2\pi$

где је $a_n=\sqrt{2+a_{n-1}}$ са почетним условом $a_1=\sqrt{2}$ .

После сређивања могуће је добити формулу за π у облику

$\lim_{\mathbf{n}\to\infty}2^{\mathbf{n} +1}\sqrt{2-\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2}}}}}_{\mathbf{n}}}\;=\;\pi$ .

Доказ [уреди]

Коришћењем формуле за синус двоструког угла

$\, \sin2x=2\sin x\cdot\cos x$

најпре треба доказати једнакост

${{\sin(2^n x)}\over {2^n \sin x}}=\prod_{i=0}^{n-1} \cos(2^i x)$

која важи за све позитивне целе бројеве n. Ако се узме да је x=y/2ⁿ и ако се обе стране једнакости поделе са cos(y/2) биће

${{\sin y}\over {\cos({y\over 2} )}}\cdot{1\over {2^n \sin({y\over {2^n}})}}=\prod_{i=1}^{n-1} \cos\left({y\over {2^{i+1}}}\right).$

Поновном употребом формуле за синус двоструког угла sin y=2sin(y/2)cos(y/2) добија се

${{2\sin({y\over 2})}\over {2^n \sin({y\over {2^n}})}}=\prod_{i=1}^{n-1} \cos\left({y\over {2^{i+1}}}\right).$

Ако заменимо y са π добијамо једнакост

${2\over {2^n \sin({\pi \over {2^n}})}}=\prod_{i=2}^{n} \cos\left({\pi\over {2^i}} \right) \ .$

Остаје да се чиниоци са десне стране ове једнакости повежу са одговарајућим a_n. Ако се сада употреби формула за косинус полуугла,

$2\cos(x/2)=\sqrt{2+2\cos x},$

добија се да $b_i=2\cos\left({\pi\over {2^{i+1}}}\right)$ задовољава рекурзивну везу $\,b_{i+1}=\sqrt{2+b_i}$ са почетним условом $b_1= 2\cos\left({\pi \over 4}\right)=\sqrt{2}=a_1$ . Зато је a_n=b_n за све позитивне целе бројеве n.