Гранична вредност низа

Из Википедије, слободне енциклопедије
Плавим тачкицама је приказан график конвергентног низа {an}. Може се и визуелно видети да низ тежи нули како n све више и више одмиче ка бесконачности.

Гранична вредност низа a_n или лимес низа a_n реалних бројева је нека тачка a \in \mathbb{R} \cup \{- \infty, + \infty\} ако за сваку околину U тачке a постоји природан број n_0, тако да a_n \in U за све бројеве n > n_0, тј. тако да почев од неког, сви чланови низа припадају тој околини.

Дефиниција[уреди]

a = \lim_{n \to \infty}{a_n} \Leftrightarrow (\forall U>0)(\exists n_0 \in \mathbb{N})(\forall n \in \mathbb{N}) n>n_0 \Rightarrow a_n \in U.

Гранична вредност конвергентних низова[уреди]

Поред опште дефиниције, гранична вредност за конвергентне низове, тј. за низове a_n који теже неком a, где је a коначан број, може се записати као:

a = \lim_{n \to \infty}{a_n} \Leftrightarrow (\forall \epsilon>0)(\exists n_0 \in \mathbb{N})(\forall n \in \mathbb{N}) n>n_0 \Rightarrow |a_n-a|< \epsilon.

Гранична вредност дивергентних низова[уреди]

Поред опште дефиниције, гранична вредност за дивергентне низове, низове a_n који теже a = \pm \infty , може се записати као:

a = \lim_{n \to \infty}{a_n} \Leftrightarrow (\forall \epsilon>0)(\exists n_0 \in \mathbb{N})(\forall n \in \mathbb{N}) n>n_0 \Rightarrow |a_n-a|> \epsilon.

Кошијев низ[уреди]

Vista-xmag.png За више информација погледајте чланак Кошијев низ
Плаве тачкице приказују график Кошијевог низа (xn), чија се вредност очитава на "y"-оси. И визуелно се може видети да низ конвергира својој граничној вредности кад се n све више и више повећава. У скупу реалних бројева сваки Кошијев низ је конвергентан.

Кошијев низ, назван по истакнутом француском математичару Огистену Кошију је низ реалних бројева (xn) који је дефинисан на следећи начин:

(\forall\epsilon>0)(\exists n_0\in\mathbb{N})(\forall m, n\in\mathbb{N})(m, n>n_0 \Rightarrow |x_m-x_n| < \epsilon).

Кошијев низ је уско повезан са појмом граничне вредности низа, јер сваки Кошијев низ конвергира. Ако знамо да је неки низ Кошијев, не морамо уопште да га познајемо нити којој ће граничној вредности да тежи, а унапред ћемо знати да има коначну граничну вредност.

Литература[уреди]

  • Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.

Види још[уреди]