Гринова теорема

Из Википедије, слободне енциклопедије

У физици и математици, Гринова теорема даје однос између криволинијског интеграла око просте затворене криве C и двоструког интеграла над области D ограниченом са C. То је специјални дводимензионални случај општије Стоксове теореме, а добила је име по британском научнику Џорџу Грину.

Нека је C позитивно оријентисана, део по део глатка, проста затворена крива у равни и нека је D област огранична кривом C. Ако L и M имају непрекидне парцијалне изводе на отвореној области која садржи D, онда

\int_{C} L\, dx + M\, dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA

Некада се црта кружић на симболу за интеграл (\oint_{C}) да се означи да је крива C затворена (тада се интеграл назива циркулацијом). За позитивну оријентацију, на овом кругу се може нацртати стрелица у смеру супротном смеру казаљке на сату.

Доказ када је D проста област[уреди]

Ако је D проста област чије се границе састоје од кривих C1, C2, C3, C4, може се демонстрирати Гринова теорема.

Следи доказ теореме за поједностављену област D, област типа I где су C2 и C4 вертикалне линије. Сличан доказ постоји када је D област типа II, где су C1 и C3 праве линије.

Ако се може показати да су искази

\int_{C} L\, dx = \iint_{D} \left(- \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA\qquad\mathrm{(1)}

и

\int_{C} M\, dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x}\right)\, dA\qquad\mathrm{(2)}

тачни, онда се може доказати Гринова теорема у првом случају.

Област типа I, D на слици десно, дефинисана са:

D = \{(x,y)|a\le x\le b, g_1(x) \le y \le g_2(x)\}

где су g1 и g2 непрекидне функције. Израчунајмо двоструки интеграл из (1):

 \iint_{D} \left(\frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA =\int_a^b\!\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \left[\frac{\partial L}{\partial y} (x,y)\, dy\, dx \right]
 = \int_a^b \Big\{L[x,g_2(x)] - L[x,g_1(x)] \Big\} \, dx\qquad\mathrm{(3)}


C се може записати као унија четири криве: C1, C2, C3, C4.

Код C1, користимо параметарске једначине: x = x, y = g1(x), axb. Тада

\int_{C_1} L(x,y)\, dx = \int_a^b \Big\{L[x,g_1(x)]\Big\}\, dx

Код C3, користимо параметарске једначине: x = x, y = g2(x), axb. Тада

   \int_{C_3} L(x,y)\, dx = -\int_{-C_3} L(x,y)\, dx = - \int_a^b [L(x,g_2(x))]\, dx

Интеграл над C3 се негира, јер иде у негативном правцу од b до a, јер је C оријентисана позитивно (у смеру супротном смеру казаљке на сату). На C2 и C4, x остаје константно, што значи да

 \int_{C_4} L(x,y)\, dx = \int_{C_2} L(x,y)\, dx = 0

Стога,

   \int_{C} L\, dx  = \int_{C_1} L(x,y)\, dx + \int_{C_2} L(x,y)\, dx + \int_{C_3} L(x,y)\, dx + \int_{C_4} L(x,y)\, dx
 = -\int_a^b [L(x,g_2(x))]\, dx + \int_a^b [L(x,g_1(x))]\, dx\qquad\mathrm{(4)}

Комбиновањем (3) са (4), добијамо (1). На сличан начин добијамо (2).

Види још[уреди]

Спољашње везе[уреди]