Гринова теорема

Из Википедије, слободне енциклопедије

У физици и математици, Гринова теорема даје однос између линијског интеграла око просте затворене криве C и двоструког интеграла над области D ограниченом са C. То је специјални дводимензиони случај општије Стоксове теореме, а добила је име по британском научнику Џорџу Грину.

Нека је C позитивно оријентисана, део по део глатка, проста затворена крива у равни и нека је D област огранична кривом C. Ако L и M имају непрекидне парцијалне изводе на отвореној области која садржи D, онда

$\int_{C} L\, dx + M\, dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA$

Некада се црта кружић на симболу за интеграл ( $\oint_{C}$ ) да се означи да је крива C затворена. За позитивну оријентацију, на овом кругу се може нацртати стрелица у смеру супротном смеру казаљке на сату.

[уреди] Доказ када је D проста област

Ако је D проста област чије се границе састоје од кривих C₁, C₂, C₃, C₄, може се демонстрирати Гринова теорема.

Следи доказ теореме за поједностављену област D, област типа I где су C₂ и C₄ вертикалне линије. Сличан доказ постоји када је D област типа II, где су C₁ и C₃ праве линије.

Ако се може показати да су искази

$\int_{C} L\, dx = \iint_{D} \left(- \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA\qquad\mathrm{(1)}$

и

$\int_{C} M\, dy = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x}\right)\, dA\qquad\mathrm{(2)}$

тачни, онда се може доказати Гринова теорема у првом случају.

Област типа I, D на слици десно, дефинисана са:

$D = \{(x,y)|a\le x\le b, g_1(x) \le y \le g_2(x)\}$

где су g₁ и g₂ непрекидне функције. Израчунајмо двоструки интеграл из (1):

$\iint_{D} \left(\frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA$	$=\int_a^b\!\!\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} \left[\frac{\partial L}{\partial y} (x,y)\, dy\, dx \right]$
	$= \int_a^b \Big\{L[x,g_2(x)] - L[x,g_1(x)] \Big\} \, dx\qquad\mathrm{(3)}$

C се може записати као унија четири криве: C₁, C₂, C₃, C₄.

Код C₁, користимо параметарске једначине: x = x, y = g₁(x), a ≤ x ≤ b. Тада

$\int_{C_1} L(x,y)\, dx = \int_a^b \Big\{L[x,g_1(x)]\Big\}\, dx$

Код C₃, користимо параметарске једначине: x = x, y = g₂(x), a ≤ x ≤ b. Тада

$\int_{C_3} L(x,y)\, dx = -\int_{-C_3} L(x,y)\, dx = - \int_a^b [L(x,g_2(x))]\, dx$

Интеграл над C₃ се негира, јер иде у негативном правцу од b до a, јер је C оријентисана позитивно (у смеру супротном смеру казаљке на сату). На C₂ и C₄, x остаје константно, што значи да

$\int_{C_4} L(x,y)\, dx = \int_{C_2} L(x,y)\, dx = 0$

Стога,

$\int_{C} L\, dx$	$= \int_{C_1} L(x,y)\, dx + \int_{C_2} L(x,y)\, dx + \int_{C_3} L(x,y)\, dx + \int_{C_4} L(x,y)\, dx$
	$= -\int_a^b [L(x,g_2(x))]\, dx + \int_a^b [L(x,g_1(x))]\, dx\qquad\mathrm{(4)}$