Декартов лист

Из Википедије, слободне енциклопедије
Декартов лист

Декартов лист је алгебарска крива дефинисана једначином:

x^3 + y^3 - 3 a x y = 0 \,.

Параметар  3a представља дијагоналу квадрата, чија страна је једнака највећој дужини петље (погледати слику).

Једначине[уреди]

Декартов лист у правоугаоном систему је:

\textstyle x^3 + y^3 = 3axy

а у поларним координатама је:

r = \frac{3 a \sin \theta \cos \theta}{\sin^3 \theta + \cos^3 \theta }.

У параметарском облику могу да се напишу као:

x = {{3ap} \over {1 + p^3}},\, y = {{3ap^2} \over {1 + p^3}}.

Својства[уреди]

  • Ос исметрије криве је права OA је једначина : y = x .
  • Тачка A назива се врхом, а њене координате су:\left(\frac{3a}{2},\frac{3a}{2}\right).
  • Асимптота је права UV, чија једначина је: x+y+a=0.
  • Површина затворене области је\textstyle S_1=\frac{l^2}{3}=\frac{3}{2}a^2
  • Површина између криве и асимптоте је \textstyle S_1=\frac{3}{2}a^2
Закренути Декартов лист

Закренути Декартов лист[уреди]

Декартов лист може да се закрене ротацијом за 135^\circ, па се тада добија закренути Декартов лист, чија је једначина у Декартовом систему:

y=\pm x \sqrt{\frac{l+x}{l-3x}}, где l=\frac{3a}{\sqrt{2}}
  • Параметарски облик закренутога листа је:
x=l \frac{t^2-1}{3t^2+1},\ y=l\frac{t(t^2-1)}{3t^2+1}
  • Поларни приказ закренутога листа је:
 \rho = \frac{l \left(\sin^2 \varphi- \cos^2 \varphi\right)}{ \cos \varphi\left(\cos^2 \varphi+ 3 \sin^2 \varphi\right)}

Извод закренутога листа[уреди]

Извод закренутога Декартовога листа почињемо тако да најпре изведемо ротацију за \alpha=\frac{-3\pi}{4}, па је

\textstyle x = - u \cos \alpha - v \sin \alpha
\textstyle y = - u \sin \alpha + v \cos \alpha, или
\textstyle x = - \frac{u}{ \sqrt {2}} - \frac{v}{ \sqrt {2}}
\textstyle y = - \frac{u}{ \sqrt {2}} + \frac{v}{ \sqrt {2}} .

После замене старих координата новима добија се:

 v^2 = \frac{u^2}{3} \frac{3a + u \sqrt{2}}{a - u \sqrt{2}} .

Уводимо параметар  l = \frac{3a}{ \sqrt{2}}, па се увршавајући у последњу једначину добија:

 v^2 = u^2 \frac{l + u}{l - 3u}

или

 v = \pm u \sqrt{\frac{l + u}{l - 3u}} .

Заменимо ли u и v са x и y добија се Декартов лист у новим координатама:

 y = \pm x \sqrt{\frac{l + x}{l - 3x}}

Прелазимо у поларни систем следећом заменом:  x = \rho \cos \varphi,\ y = \rho \sin \varphi тако да добијамо:

 \rho \sin \varphi= \rho \cos \varphi \sqrt{ \frac{t + \rho \cos \varphi}{t - 3 \rho \cos \varphi}} .

Решавајући једначину по \rho добијамо:

 \rho = \frac{l \left(\sin^2 \varphi- \cos^2 \varphi\right)}{ \cos \varphi\left(\cos^2 \varphi+ 3 \sin^2 \varphi\right)} .

Литература[уреди]

Спољашње везе[уреди]

Викиостава
Викимедијина остава има још мултимедијалних датотека везаних за: Декартов лист