Декартов лист

Декартов лист

Декартов лист је алгебарска крива дефинисана једначином:

$x^3 + y^3 - 3 a x y = 0 \,$.

Параметар $3a$ представља дијагоналу квадрата, чија страна је једнака највећој дужини петље (погледати слику).

Једначине

Декартов лист у правоугаоном систему је:

$\textstyle x^3 + y^3 = 3axy$

а у поларним координатама је:

$r = \frac{3 a \sin \theta \cos \theta}{\sin^3 \theta + \cos^3 \theta }.$

У параметарском облику могу да се напишу као:

$x = {{3ap} \over {1 + p^3}},\, y = {{3ap^2} \over {1 + p^3}}$.

Својства

• Ос исметрије криве је права $OA$ је једначина :$y = x$.
• Тачка A назива се врхом, а њене координате су:$\left(\frac{3a}{2},\frac{3a}{2}\right)$.
• Асимптота је права $UV$, чија једначина је: $x+y+a=0$.
• Површина затворене области је$\textstyle S_1=\frac{l^2}{3}=\frac{3}{2}a^2$
• Површина између криве и асимптоте је $\textstyle S_1=\frac{3}{2}a^2$

Закренути Декартов лист

Закренути Декартов лист

Декартов лист може да се закрене ротацијом за $135^\circ$, па се тада добија закренути Декартов лист, чија је једначина у Декартовом систему:

$y=\pm x \sqrt{\frac{l+x}{l-3x}}$, где $l=\frac{3a}{\sqrt{2}}$

• Параметарски облик закренутога листа је:

$x=l \frac{t^2-1}{3t^2+1},\ y=l\frac{t(t^2-1)}{3t^2+1}$

• Поларни приказ закренутога листа је:

$\rho = \frac{l \left( \sin^2 \varphi- \cos^2 \varphi\right)}{ \cos \varphi\left( \cos^2 \varphi+ 3 \sin^2 \varphi\right)}$

Извод закренутога листа

Извод закренутога Декартовога листа почињемо тако да најпре изведемо ротацију за $\alpha=\frac{-3\pi}{4}$, па је

$\textstyle x = - u \cos \alpha - v \sin \alpha$

$\textstyle y = - u \sin \alpha + v \cos \alpha$, или

$\textstyle x = - \frac{u}{ \sqrt {2}} - \frac{v}{ \sqrt {2}}$

$\textstyle y = - \frac{u}{ \sqrt {2}} + \frac{v}{ \sqrt {2}}$.

После замене старих координата новима добија се:

$v^2 = \frac{u^2}{3} \frac{3a + u \sqrt{2}}{a - u \sqrt{2}}$.

Уводимо параметар $l = \frac{3a}{ \sqrt{2}}$, па се увршавајући у последњу једначину добија:

$v^2 = u^2 \frac{l + u}{l - 3u}$

или

$v = \pm u \sqrt{\frac{l + u}{l - 3u}}$.

Заменимо ли u и v са x и y добија се Декартов лист у новим координатама:

$y = \pm x \sqrt{\frac{l + x}{l - 3x}}$

Прелазимо у поларни систем следећом заменом: $x = \rho \cos \varphi,\ y = \rho \sin \varphi$ тако да добијамо:

$\rho \sin \varphi= \rho \cos \varphi \sqrt{ \frac{t + \rho \cos \varphi}{t - 3 \rho \cos \varphi}}$.

Решавајући једначину по $\rho$ добијамо:

$\rho = \frac{l \left( \sin^2 \varphi- \cos^2 \varphi\right)}{ \cos \varphi\left( \cos^2 \varphi+ 3 \sin^2 \varphi\right)}$.

Литература

• Декартов лист

Спољашње везе

Викимедијина остава има још мултимедијалних датотека везаних за: Декартов лист