Дискретна Фуријеова трансформација

Дискретна Фуријеова трансформација или ДФТ јесте Фуријеова трансформација дискретног и коначног (или периодичног) сигнала. Дискретна Фуријеова трансформација је тиме и специјални облик Z-трансформације код које се z налази на јединичном кругу. Често се користи при обради дигиталних сигнала, а најпознатији алгоритам за то је брза фуријеова трансформација (FFT, Fast Fourier Transformation, енгл.).

Дискретна Фуријеова трансформација може да послужи такође за апроксимацију (у одређеним случајевима и реконструкцију) функције која одговара сигналу или као имплементација дигиталних филтера.

Путем инверзне Фуријеове трансформације се из Фуријеових коефицијената склапа излазни сигнал, а повезивањем ДФТ и инверзне ДФТ можемо да манипулишемо фреквенцијама (налази примену при еквилајзерима и филтерима).

Дефиниција

Узмимо да је $R$ комутативан, унитаран прстен, у којем је број $N$ јединица. Даље, у $R$ је $w$ јединични корен.

За вектор $c=(c_0,\dots,c_{N-1})\in R^N$ је дискретна фуријеова трансформација $\hat c$ на следећи начин дефинисана:

$\hat c_k = \sum_{j=0}^{N-1} w^{\,j\cdot k}\cdot c_j$ за $k=0,\dots,N-1$

А за $\hat c_k$, инверзна фуријеова трансформација је

$c_k = {1\over N}\sum_{j=0}^{N-1} w^{-j\cdot k}\cdot \hat c_j$ за $k=0,\dots,N-1$

ДФТ и ИДФТ у комплексном домену

У комплексном домену користимо $w= e^{{2*\pi*k} \over n }, \quad k=0,1,\ldots, n-1$.

Онда је ДФТ за $c\in\Bbb C^N$: $\hat c_k = \sum_{j=0}^{N-1} e^{-2\pi \mathrm{i}\cdot\frac{jk}{N}}\cdot c_j$ за $k=0,\dots,N-1$,

а ИДФТ за $\hat c\in\Bbb C^N$: $c_k=\frac 1 N \sum_{j=0}^{N-1} e^{2\pi \mathrm{i}\cdot\frac{jk}{N}}\cdot \hat c_j$ за $k=0,\dots,N-1$

ДФТ и ИДФТ у реалном домену

Рачуница у реалном домену је:

$\hat c_{N-k} = \sum_{j=0}^{N-1}e^{-2\pi \mathrm{i} \cdot\frac{j(N-k)}{N}} \cdot c_j = \sum_{j=0}^{N-1}e^{-2\pi \mathrm{i} \cdot(\frac{jN}{N}-\frac{k}{N})} \cdot c_j = \sum_{j=0}^{N-1}e^{-2\pi \mathrm{i} \cdot(\frac{jN}{N})}e^{2\pi \mathrm{i} \cdot(\frac{k}{N})} \cdot c_j = \sum_{j=0}^{N-1}e^{-2\pi \mathrm{i} \cdot j}e^{2\pi \mathrm{i} \cdot(\frac{k}{N})} \cdot c_j$

Ојлеров идентитет гласи: $e^{2 \pi \mathrm{i}}=1$. Такође важи $\overline{e^{\mathrm{i}\phi}}=e^{-\mathrm{i}\phi}$ и $\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1} + \overline{z_2}$.

Стога можемо још упростити израз:

$\hat c_{N-k} = \sum_{j=0}^{N-1}1 \cdot e^{2\pi \mathrm{i} \cdot(\frac{k}{N})} \cdot c_j = \sum_{j=0}^{N-1}e^{2\pi \mathrm{i} \cdot\frac{k}{N}} \cdot c_j = \sum_{j=0}^{N-1}\overline{e^{-2\pi \mathrm{i} \cdot\frac{k}{N}}} \cdot c_j = \overline{\hat c_{k}}$

Што ће рећи, $\hat c\in\Bbb C^N$ није реалан, али само N независних вредности (уместо 2N).

За ИДФТ можемо закључити следеће: Уколико за $\hat c\in\Bbb C^N$ важи $\hat c_{N-k}=\overline{\hat c_k}$ за све $k=0,\dots,N-1$, онда је ИДФТ реалан вектор $c\in\R^N$.

Померање и скалирање у времену и фреквенцији

Ако је сигнал периодичан, онда није битно да ли трансформишемо у опсегу $0,\dots,N-1$ или $k,\dots,N-1+k$. Индексна променљива j треба да обухвати N опсег, али није битно где он почиње односно где се завршава (ово важи само за случај да је сигнал периодичан, тј. да се вектор $k,\dots,N-1+k$ периодично понавља). Присетимо се: за $w$ важи $w^N = 1$. Онда $w^{N+k} = w^N \cdot w^k = 1 \cdot w^k = w^k$.

У пракси често желимо да разлика у индексима буде истовремено и разлика у времену или раздаљини два мерења

$t_n = nT, n=1-M,\dots,N-M$, $T$ је периода нашег мерења.

Често желимо и да коефицијентима доделимо фреквенцију тако да су центриране око $0$

$\omega_n:=2\pi\frac{n}{NT}, n=1-K,..., N-K$, $K$ је негде у близини $\frac{N}{2}$.

Узмимо неку функцију $f$ којој додељујемо $x\in\Bbb C^N$ тако да $x_n=f(t_n)$.

ДФТ је онда $y_n=\hat f(\omega_n)=F(\omega_n)$.

Из тога следи:

$F(\omega_n)=\sum_{j=1-M}^{N-M}e^{-2\pi \mathrm{i}\frac{njT}{NT}}x_j =\sum_{j=1-M}^{N-M}e^{-\mathrm{i}\,\omega_n\cdot t_j}f(t_j)$

а ИДФТ је

$f(t_n)=x_n=\frac1N \sum_{j=1-K}^{N-K}e^{-2\pi \mathrm{i}\frac{nkT}{NT}}y_j =\frac1N \sum_{j=1-K}^{N-K}e^{\mathrm{i}\omega_j\cdot t_n}F(\omega_j)$

Примери

Пример филтера

Ситуација: Звук који желимо да снимимо има следећи облик (када би га снимао аналоган микрофон):

Пошто је наш микрофон дигиталан, ми можемо само да снимимо појединачне вредности. На нашем компјутеру добијамо:

Наш циљ је да избацимо све фреквенције које су „тише“ (тј. које имају амплитуду) од 1 V. Прво правимо табелу:

<math>t_i =\,</math>0.5000    0.6000    0.7000    0.8000    0.9000    1.0000    1.1000    1.2000    1.3000    1.4000

<math>f(t_i) =\,</math>12.5000   10.0995   7.6644    6.8554    9.7905   13.5000   11.7546    7.4815    8.2905    12.0636

Имамо 10 вредности на 1 секунду, што ће рећи периода нашег мерења је $T = 0.1\,$, а фреквенција $freq = \frac{1}{T} = 10 Hz$. Стога ми можемо да реконструишемо талас до 5 Hz. Уколико у нашем оригиналном сигналу има фреквенција виших од 5 Hz онда ће наша реконструкција имати грешку. Али, као и увек у животу, човек мора бити оптимистичан те ћемо ми претпоставити да нема виших фреквенција (то је уосталом и један од разлога зашто компакт-диск има фреквенцију од око 41 kHz; људско ухо може да региструје тек до 20 kHz!).

Следи израчунавање $\omega_i\,$. Нас занимају само вредности везане за позитивне индексе:

$n = 1-K,\ldots,N-K; K = N / 2 = 5;\,$

$n = -4,\ldots, 5\,$

$N \cdot T = 10 \cdot .1 = 1$

$\omega_0 = 2\pi\frac{0}{NT} = 0, \omega_1 = 2\pi, \omega_2=4\pi, \ldots, \omega_5=10\pi$

Сада имамо све вредности и можемо да почнемо са рачунањем:

$F(\omega_0 = 0) = \sum_{j=0}^{N-1=9} e^{ -\mathrm{i} \cdot 0 \cdot t_j } \cdot f(t_j ) = \sum_{j=0}^{9} f(t_j) = 100 = y_0 = {\hat c}_0$

$F(\omega_1 = 2\pi) = \sum_{j=0}^{N-1=9} e^{ -\mathrm{i} \cdot 2\pi \cdot t_j } \cdot f(t_j) = \ldots = 0 -3.5\mathrm{i} = y_1 = {\hat c}_1$

$F(\omega_2 = 4\pi) = \sum_{j=0}^{N-1=9} e^{ -\mathrm{i} \cdot 4\pi \cdot t_j } \cdot f(t_j) = \ldots = 15 +0\mathrm{i} = y_2 = {\hat c}_2$

Израчунавање осталих коефицијената иде аналогно, те ћемо их овде само навести као резултате:

$F(\omega_3 = 6\pi) = 2.5 - 3\mathrm{i} = y_3 = {\hat c}_3$

$F(\omega_4 = 8\pi) = 6.7586e-14 + 2.8240e-14i = y_4 = {\hat c}_4$

Имамо ${\hat c}\,$, сада желимо да избацимо све превише „тихе“ тонове. Требају нам $c_k\,$:

$c = {\hat c} / N \Rightarrow c_i = {\hat c}_i / 10$

$c_i:\,$ 10 -0.35i 1.5 - 0i 0.25 - 0.3i 0 + 0i

Знамо да важи: $c_0 = a_0, c_{i>0} = \frac{1}{2}(a_i - b_i \mathrm{i})$. На тај начин можемо да израчунамо $a_i\,$ и $b_i\,$:

$a_0 = 10\,$

$a_1 - b_1 \mathrm{i} = -0.7 \mathrm{i} \Rightarrow a_1 = 0, b_1 = 0.7\,$

Остале амплитуде:

$a_2 = 3\,$

$a_3 = 0.5\,$

$b_3 = 0.6\,$

$a_4 = b_4 = 0\,$

Из $a_4=b_4 = 0\,$ можемо да закључимо да фреквенција од 4 Hz нема у нашем сигналу. Често је врло згодно навести све амплитуде у графикону. Амплитуда $A_k\,$ за неку фреквенцију $k$ је $A_k = \sqrt{(a_k^2 + b_k^2 )}$. У нашем случају наш фреквентни спектрум изгледа овако:

Све $a_i\,$ и $b_i\,$ за које важи $\sqrt{(a_i^2 + b_i^2 )} < 1$ избацујемо и на крају добијамо реконструисану и обрађену функцију:

$f(t) = 10 + 3\cos(2 \omega t)\,$

Сада можемо да поново да израчунамо $f(t_i)\,$ или да се послужимо ИДФТ и тако прерађен сигнал снимимо у меморију.

Пример у C-у

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <complex.h>

#define pi 3.14159265
#define N 1000
#define T 0.001
#define FREQ 25

double my_function (double t )
{
         /* violina svira ton od 25 Hz */
         double ugaona_brzina = 2 * pi * FREQ;
         return 5 + 10 * cos(ugaona_brzina * t) + 15 * cos(2 * (ugaona_brzina * t) ) 
                        + 20 * sin (3 * (ugaona_brzina * t) );

}

complex double get_fourier_coef (double omega_n, double* t, double* f  )
{
         complex double coeff = 0;

        int k = 0;

        for (k = 0; k < N; k ++ )
        {
                // f[k] == f(t[k] );
                coeff += cexp (- I * omega_n * t[k]) * f[ k ] ;
        }
        return coeff;
}

int main()
{
        double t[N];
        double omega[N];
        double f[N];

        double a[N/2+1];
        double phi[N/2+1];
        int n = 0;

        complex double coeff[N];
        
        /* pripremi vektore t i f_t -> nas signal je f_t !*/
        t[0] = 0;
        f[0] = my_function (t[0] );
        omega[0] = 0;

        for (n = 1; n < N; n ++ )
        {
                omega[n] = 2 * pi * n / (N * T );
                t[n] = n * T;
                f[n] = my_function (t[n] );     
        }

 
        /* izracunavanje koeficijenata */
        for (n = 0; n < N/2+1; n ++ )
        {
                coeff[n] = get_fourier_coef (omega[n], t, f );
                if (cabs(coeff[n]) > 0.1 ){
                        printf ("# Koeficijent %d:  %e * e^i*%e\n", n, cabs(coeff[n]), carg(coeff[n]) ); 
                }
        }
        
        

        /* krece inverzija: */          
        a[0] = cabs(coeff[0]) / N;
        phi[0] = 0;
        for (n = 1; n < N/2+1; n++ )
        {
                if (cabs(coeff[n]) > 0.1 )
                {
                        // c = 1/2 (a + ib ), zato a = 2 * |c|, b == 0 
                        a[n] = 2  * cabs(coeff[n]) / N; 

                        if (abs (carg(coeff[n])) > 0.001 )
                        {
                                phi[n] = carg(coeff[n] );
                        }
                         else 
                        {
                                phi[n] = 0;
                        }
                } 
                else 
                {
                        a[n] = 0;
                        phi[n] = 0;
                }
        }


        /* predstavljanje rezultata: */
        printf ("Nasa rekonstrukcija:\n f (t) = %e", a[0] );
        for (n = 1; n < N/2+1; n++ )
        {

                if (a[n] )
                {
                        if (phi[n] )
                        {
                                printf (" + %e * cos (%d * (2 * pi * t + %e) )", a[n], n, phi[n] );
                        }
                        else
                        {
                                printf ("+ %e * cos (%d * 2 * pi * t )", a[n], n );
                        }
                }
        }
        printf ("\n" );
        

        return 0;
}

Референце

• Brigham, E. Oran (1988). The fast Fourier transform and its applications. Englewood Cliffs, N.J.: Prentice Hall. ISBN 0-13-307505-2. 
• Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer, Buck, J. R. (1999). Discrete-time signal processing. Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall. ISBN 0-13-754920-2. 
• Smith, Steven W. (1999). „Chapter 8: The Discrete Fourier Transform“. The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing (Second ed.). San Diego, Calif.: California Technical Publishing. ISBN 0-9660176-3-3. 
• Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein (2001). „Chapter 30: Polynomials and the FFT“. Introduction to Algorithms (Second ed.). MIT Press and McGraw-Hill. стр. 822–848. ISBN 0-262-03293-7.  esp. section 30.2: The DFT and FFT, pp. 830–838.
• P. Duhamel, B. Piron, and J. M. Etcheto (1988). „On computing the inverse DFT“. IEEE Trans. Acoust., Speech and Sig. Processing 36 (2): 285–286. DOI:10.1109/29.1519. 
• J. H. McClellan and T. W. Parks (1972). „Eigenvalues and eigenvectors of the discrete Fourier transformation“. IEEE Trans. Audio Electroacoust. 20 (1): 66–74. DOI:10.1109/TAU.1972.1162342. 
• Bradley W. Dickinson and Kenneth Steiglitz (1982). „Eigenvectors and functions of the discrete Fourier transform“. IEEE Trans. Acoust., Speech and Sig. Processing 30 (1): 25–31. DOI:10.1109/TASSP.1982.1163843. 
• F. A. Grünbaum (1982). „The eigenvectors of the discrete Fourier transform“. J. Math. Anal. Appl. 88 (2): 355–363. DOI:10.1016/0022-247X(82)90199-8. 
• Natig M. Atakishiyev and Kurt Bernardo Wolf (1997). „Fractional Fourier-Kravchuk transform“. J. Opt. Soc. Am. A 14 (7): 1467–1477. DOI:10.1364/JOSAA.14.001467. 
• C. Candan, M. A. Kutay and H. M.Ozaktas (2000). „The discrete fractional Fourier transform“. IEEE Trans. on Signal Processing 48 (5): 1329–1337. DOI:10.1109/78.839980. 
• Magdy Tawfik Hanna, Nabila Philip Attalla Seif, and Waleed Abd El Maguid Ahmed (2004). „Hermite-Gaussian-like eigenvectors of the discrete Fourier transform matrix based on the singular-value decomposition of its orthogonal projection matrices“. IEEE Trans. Circ. Syst. I 51 (11): 2245–2254. DOI:10.1109/TCSI.2004.836850. 
• Shamgar Gurevich and Ronny Hadani (2009). „On the diagonalization of the discrete Fourier transform“. Applied and Computational Harmonic Analysis 27 (1): 87–99. arXiv:0808.3281. DOI:10.1016/j.acha.2008.11.003. preprint at. 
• Shamgar Gurevich, Ronny Hadani, and Nir Sochen (2008). „The finite harmonic oscillator and its applications to sequences, communication and radar“. IEEE Transactions on Information Theory 54 (9): 4239–4253. arXiv:0808.1495. DOI:10.1109/TIT.2008.926440. preprint at. 
• Juan G. Vargas-Rubio and Balu Santhanam (2005). „On the multiangle centered discrete fractional Fourier transform“. IEEE Sig. Proc. Lett. 12 (4): 273–276. DOI:10.1109/LSP.2005.843762. 
• J. Cooley, P. Lewis, and P. Welch (1969). „The finite Fourier transform“. IEEE Trans. Audio Electroacoustics 17 (2): 77–85. DOI:10.1109/TAU.1969.1162036. 
• F.N. Kong (2008). „Analytic Expressions of Two Discrete Hermite-Gaussian Signals“. IEEE Trans. Circuits and Systems –II: Express Briefs. 55 (1): 56–60. DOI:10.1109/TCSII.2007.909865. 

Види још

• Дуалност по Понтрјагину