Допуна до потпуног квадрата

Из Википедије, слободне енциклопедије

Допуна до потпуног квадрата је техника елементарне алгебре са применама у различитим областима математике. Користи се, на пример, у алгебри при решавању квадратне једначине, у аналитичкој геометрији да одреди график квадратне функције, у инфинитезималном рачуну при одређивању вредности неких интеграла, и при рачунању Лапласових трансформација. Циљ ове технике је да се елиминише линеарни члан квадратног тринома.

Другим речима, квадратни трином облика

ax^2 + bx + c\,\!

са трансформише у облик

 a(\cdots\cdots)^2 + \mbox{const}.\,

У овом контексту, слободан члан, означен са const не зависи од променљиве x. Израз у загради је облика (x − const). Дакле, полазни трином ax2 + bx + c  се трансформише у

 a(x -  \alpha\,)^2 + \beta\,

где треба одредити  \alpha\, и  \beta\,.

У математици је допуна до потпуног квадрата основна алгебарска операција која се често без посебног наглашавања примењује у различитим рачуницама са квадратним полиномима.

Преглед[уреди]

Основа[уреди]

Основа за ову технику је једноставна формула елементарне алгебре за одређивање квадрата бинома:

(x + p)^2 \,=\, x^2 + 2px + p^2.\,\!

На пример:

\begin{alignat}{2}
(x+3)^2 \,&=\, x^2 + 6x + 9 && (p=3)\\[3pt]
(x-5)^2 \,&=\, x^2 - 10x + 25\qquad && (p=-5).
\end{alignat}

Код било ког потпуног квадрата, број p је увек половина коефицијента уз x, а слободан члан је једнак p2.

Основни пример[уреди]

Нека је дат следећи квадратни полином:

x^2 + 10x + 28.\,\!

Овај трином није потпуни квадрат, пошто 28 није квадрат броја 5:

(x+5)^2 \,=\, x^2 + 10x + 25.\,\!

Ипак, могуће је полазни полином записати као збир квадрата и константе:

x^2 + 10x + 28 \,=\, (x+5)^2 + 3.

Општи поступак[уреди]

Произвољан монични квадратни трином

x^2 + bx + c,\,\!

је могуће записати у облику квадрата бинома чија се два прва члана поклапају са датим:

\left(x+\tfrac{1}{2} b\right)^2 \,=\, x^2 + bx + \tfrac{1}{4}b^2.

Квадрат овог бинома се разликује од полазног тринома само у вредности слободног члана. Зато се може записати

x^2 + bx + c \,=\, \left(x + \tfrac{1}{2}b\right)^2 + \beta\,,

где је  \beta\, константа. Управо овај поступак се назива допуном до потпуног квадрата. Примери:

\begin{alignat}{1}
x^2 + 6x + 11 \,&=\, (x+3)^2 + 2 \\[3pt]
x^2 + 14x + 30 \,&=\, (x+7)^2 - 19 \\[3pt]
x^2 - 2x + 7 \,&=\, (x-1)^2 + 6.
\end{alignat}

Немонични трином[уреди]

Уколико је коефицијент уз квадратни члан различит од нуле

ax^2 + bx + c\,\!

потребно је најпре факторисати полином у облику производа коефицијента a и квадратног тринома, и затим допунити добијени монични трином до потпуног квадрата.

Пример:


\begin{align}
  3x^2 + 12x + 27 &= 3(x^2+4x+9)\\
          &{}= 3\left((x+2)^2 + 5\right)\\
          &{}= 3(x+2)^2 + 15
\end{align}

Захваљујући овоме, могуће је произвољан квадратни полином записати у облику

a(x-\alpha\,)^2 + \beta.\,\!

Формула[уреди]

Резуктат примене технике се може записати у облику формуле. У општем случају:[1]

ax^2 + bx + c \;=\; a(x-\alpha)^2 + \beta,\quad\text{gde je}\quad \alpha = -\frac{b}{2a} \quad\wedge\quad \beta = c - \frac{b^2}{4a}.

Посебно, када је a=1:

x^2 + bx + c \;=\; (x-\alpha)^2 + \beta,\quad\text{gde je}\quad \alpha = -\frac{b}{2} \quad\wedge\quad \beta = c - \frac{b^2}{4}.

Матрична једнакост је врло слична:

x^{\mathrm{T}}Ax + x^{\mathrm{T}}b + c = (x - \alpha)^{\mathrm{T}}A(x - \alpha) + \beta \quad\text{gde je}\quad \alpha = -\frac{1}{2}A^{-1}b \quad\wedge\quad \beta = c - \frac{1}{4}b^{\mathrm{T}}A^{-1}b

Веза са графиком[уреди]

Графици квадратних функција померени дуж x-осе за  \alpha\, = 0, 5, 10, и 15.
Графици квадратних функција померени дуж y-осе за  \beta\, = 0, 5, 10, и 15.
Графици квадратних функција померени дуж x-осе и y-осе за  \alpha\, =  \beta\, = 0, 5, 10, и 15.

У аналитичкој геометрији, график произвољне квадратне функције је парабола у xОy-равни. Уколико је квадратни трином облика

(x-\alpha\,)^2 + \beta\, \quad\vee\quad a(x-\alpha\,)^2 + \beta\,

бројеви  \alpha\, и  \beta\, се могу схватити као декартове координате темена параболе. То значи да је  \alpha\, x-координата осе симетрије, а  \beta\, је минимална (или максимална, ако је a < 0) вредност квадратне функције.

Другим речима, график функције ƒ(x) = x2 је парабола чије је теме у координатном почетку (0, 0). График функције ƒ(x −  \alpha\,) = (x −  \alpha\,)2 је парабола померена у десно за  \alpha\, чије је теме у тачки ( \alpha\,, 0), као што је приказано на горњој слици. Осим тога, график функције ƒ(x) +  \beta\,x2 +  \beta\, је парабола померена дуж y-осе на позитивну страну за  \beta\,, те јој је теме у тачки (0,  \beta\,), као што је приказано на другој слици. Кобиновањем хоризонталног и вертикалног померања добија се ƒ(x −  \alpha\,) +  \beta\, = (x −  \alpha\,)2 +  \beta\, што је парабола померена у десно за  \alpha\, и горе за  \beta\, са теменом у тачки ( \alpha\, \beta\,), као што се може видети на трећој слици.

Решавање квадратних једначина[уреди]

Допуна до потпуног квадрата се може користити за решавање произвољне квадратне једначине. На пример:

x^2 + 6x + 5 = 0.\,\!

У првом кораку се полазни трином допуни до потпуног квадрата:

(x+3)^2 - 4 = 0.\,\!

Затим се примени формула за разлику квадрата:

(x+3 - 2)(x+3 + 2) = 0\,\!
(x+1)(x+5) = 0\,\!

Одатле је

x+1 = 0 \quad\vee\quad x+5 = 0,

па су решења полазне једначине

x = -1 \quad\vee\quad x = -5.

Ово се може применити на произвољну квадратну једначину. Када је коефицијент уз x2 различит од 1, први корак ће бити дељење једначине са тим коефицијентом: погледати, на пример, не-монични случај.

Ирационални и комплексни корени[уреди]

За разлику од метода који користе факторизацију једначине, поуздану само у случају када су корени рационални, допуна до потпуног квадрата ће утврдити корене квадратне једначине чак и тада када су они ирационални или комплексни. На пример, дата је једначина:

x^2 - 10x + 18 = 0.\,\!

Након допуне до потпуног квадрата биће

(x-5)^2 - 7 = 0,\,\!

па је

(x-5-\sqrt{7})(x-5+\sqrt{7}) = 0.\,\!

Значи да су корени

 x = 5 - \sqrt{7}\quad\vee\quad x = 5 + \sqrt{7}, \,

што се може записати и са

x = 5 \pm \sqrt{7}.\,

Једначине чији су корени комплексни могу се решавати на исти начин:

\begin{array}{c}
x^2 + 4x + 5 \,=\, 0 \\[6pt]
(x+2)^2 + 1 \,=\, 0 \\[6pt]
(x+2+ i)(x+2- i) \,=\, 0 \\[6pt]
x \,=\, -2 \pm i.
\end{array}

Немонична једначина[уреди]

Уколико је потребно решити квадратну једначину чији водећи коефицијент није једнак јединици, најпре је треба поделити са тим коефицијентом:

\begin{array}{c}
2x^2 + 7x + 6 \,=\, 0 \\[6pt]
x^2 + \tfrac{7}{2}x + 3 \,=\, 0 \\[6pt]
\left(x+\tfrac{7}{4}\right)^2 - \tfrac{1}{16} \,=\, 0 \\[6pt]
\left(x+\tfrac{7}{4} - \tfrac{1}{4}\right)\left(x+\tfrac{7}{4} + \tfrac{1}{4}\right) \,=\, 0 \\[6pt]
x = -\tfrac{3}{2} \quad\vee\quad x = -2.
\end{array}

Друге примене[уреди]

Интеграција[уреди]

Ова техника се може користити за израчунавање било ког интеграла облика

\int\frac{dx}{ax^2+bx+c},

уз употребу основних једнакости:

\int\frac{dx}{x^2 - a^2} = \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right| +C \quad\text{and}\quad
\int\frac{dx}{x^2 + a^2} = \frac{1}{a}\arctan\left(\frac{x}{a}\right) +C.

На пример, нека је дат интеграл:

\int\frac{dx}{x^2 + 6x + 13}.

Допуном до потпуног квадрата тринома у имениоцу добија се:

\int\frac{dx}{(x+3)^2 + 4} \,=\, \int\frac{dx}{(x+3)^2 + 2^2}.

Добијени интеграл се може израчунати коришћењем смене u = x + 3:

\int\frac{dx}{(x+3)^2 + 4} \,=\, \frac{1}{2}\arctan\left(\frac{x+3}{2}\right)+C.

Комплексни бројеви[уреди]

Уколико су у изразу

 |z|^2 - b^*z - bz^* + c,\,

z и b комплексни бројеви, z* и b* су њихови конјугати, и нека је c реалан број. Употребом идентитета |u|2 = uu* могуће је записати дати израз на следећи начин:

 |z-b|^2 - |b|^2 + c , \,\!

одакле се јасно види да је у питању реалан број. Запис следи из следећег низа једнакости:


\begin{align}
|z-b|^2 &{}=  (z-b)(z-b)^*\\
          &{}=  (z-b)(z^*-b^*)\\
          &{}= zz^* - zb^* - bz^* + bb^*\\
          &{}=  |z|^2 - zb^* - bz^* + |b|^2 .
\end{align}

У следећем изразу

 ax^2 + by^2 + c , \,\!

нека су a, b, c, x, и y реални бројеви, и нека је a > 0 и b > 0, онда се полазни израз може приказати као квадрат апсолутне вредности комплексног броја. Ако се дефинише

 z = \sqrt{a}\,x + i \sqrt{b} \,y,

биће


\begin{align}
|z|^2 &{}= z z^*\\
        &{}= (\sqrt{a}\,x + i \sqrt{b}\,y)(\sqrt{a}\,x - i \sqrt{b}\,y) \\
        &{}= ax^2 - i\sqrt{ab}\,xy + i\sqrt{ba}\,yx - i^2by^2 \\
        &{}= ax^2 + by^2 ,
\end{align}

па је

 ax^2 + by^2 + c = |z|^2 + c . \,\!

Геометријско објашњење[уреди]

Completing the square 307.PNG

Нека је потребно применити ову технику на следећу једначину

x^2 + bx = a.\,

Како x2 представља површину квадрата странице x, а bx представља површину правоугаоника са страницама b и x, процес допуне до потпуног квадрата се може представити визуелно помоћу одговарајућих четвороуглова.

Уколико се квадрат x2 и правоугаоник bx једноставно наместе тако да формирају већи квадрат, испоставиће се да њему фали један део. Члан (b/2)2 који се додаје на обе стране горње једначине представља управо површину недостајућег ћошка, одакле и потиче фраза „допуна до потпуног квадрата“.[2]

Варијација технике[уреди]

Као што се обично наводи, допуна до потпуног квадрата подразумева додавање трећег члана, v 2 на прва два члана развијене формуле за квадрат бинома:

u^2 + 2uv\,

чиме се добија прави квадрат. У неким ситуацијама потребно је додати средњи члан, или као 2uv или −2uv, на израз облика:

u^2 + v^2\,

чиме се поново добија потпуни квадрат.

Пример: збир позитивног броја и његове реципрочне вредности[уреди]

Како важи


\begin{align}
x + {1 \over x} &{} = \left(x - 2 + {1 \over x}\right) + 2\\
                &{}= \left(\sqrt{x} - {1 \over \sqrt{x}}\right)^2 + 2
\end{align}

следи да је збир позитивног броја x и његове реципрочне вредности увек већи или једнак 2. Како је квадрат реалног израза увек већи или једнак нули, добија се наведено ограничење; јендакост са 2 се постиже само онда када је x = 1, чиме се елиминише квадратни сабирак.

Пример: факторизација једноставног полинома четвртог степена[уреди]

Нека је дат бином

x^4 + 324. \,\!

Он се може написати у облику

(x^2)^2 + (18)^2, \,\!

где је средњи члан 2(x2)(18) = 36x2. Одатле следи

\begin{align} x^4 + 324 &{}= (x^4 + 36x^2 + 324 ) - 36x^2  \\
&{}= (x^2 + 18)^2 - (6x)^2 \\
&{}= (x^2 + 18 + 6x)(x^2 + 18 - 6x) \\
&{}= (x^2 + 6x + 18)(x^2 - 6x + 18)
\end{align}

(у последњем реду су мономи поређани по опадајућим степенима).

Референце[уреди]

  1. ^ Narasimhan, Revathi (1. 1. 2009.). Precalculus: Building Concepts and Connections. Cengage Learning. стр. 134-. ISBN 0-618-41302-2. 
  2. ^ Completing the Square | Nick Alger // maps, art, etc, Приступљено 2. 4. 2013.

Спољашње везе[уреди]