Д'Аламберов оператор

Из Википедије, слободне енциклопедије

Д'Аламберов оператор је диференцијални оператор другог реда. Д'Аламберов оператор је у ствари Лапласов оператор у простору Минковског - (t, x, y, z). Назван је по француском математичару Жан ле Рон д'Аламберу.

Оператор се често користи у физици електромагнетског поља - таласна једначина светла. Ознака за д'Аламберов оператор је квадрат : \Box.

Оператор сачињава Лапласов оператор (\Delta) и двоструки извод по времену :


\Box = \Delta - \frac{\partial ^2}{c^2\partial t^2}


Ајнштајнов запис[уреди]

У теорији релативности, користи се запис са Ајнштајновим индексима.


\partial_\mu=\left(\partial_{ct},\nabla \right)=\left(\partial_{ct},\partial_x,\partial_y ,\partial_z \right)
.

где је коваријантни запис,


\partial^\mu=\eta ^{\mu \nu}\partial_{\nu}=\left(\partial_{ct},-\partial_x,-\partial_y ,-\partial_z \right)

Производ је дефинисан као д'Аламберов оператор.


\Box := \partial^\mu \partial_\mu = \frac{\partial ^2}{c^2\partial t^2} - \frac{\partial ^2}{\partial x^2}
- \frac{\partial ^2}{\partial y^2} - \frac{\partial ^2}{\partial z^2} =
\frac{\partial ^2}{c^2\partial t^2} - \Delta

У различитим координатним системима[уреди]

Д'Аламберов оператор у сферним координатама:

\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial u}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2 \Theta}\frac{\partial}{\partial \Theta}\left(\sin\Theta\frac{\partial u}{\partial\Theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\Theta}\frac{\partial^2 u}{\partial\varphi^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2};

Д'Аламберов оператор у цилиндричним координатама:

\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\rho^2\frac{\partial u}{\partial\rho}\right)+\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2u}{\partial\varphi^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2};

У општим криволинијским координатама:

\square u\equiv\frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\partial}{\partial x^\nu}\left(\sqrt{-g}\,g^{\mu\nu}\frac{\partial u}{\partial x^\mu}\right),

где је g_{\mu\nu} метрички тензор, а g је детерминанта тога тензора.