Елиптични координатни систем

Из Википедије, слободне енциклопедије

Елиптични координатни систем је дводимензионални координатни систем, у ком су координатне линије представљене елипсама и хиперболама. Фокуси елипси су фиксирани на -a и +a на оси x.

Елиптични координатни систем

Основна дефиниција[уреди]

Елиптичне координате (\mu, \nu) обично се дефинишу као:


x = a \ \cosh \mu \ \cos \nu

y = a \ \sinh \mu \ \sin \nu

где је \mu ненегативан реалан број, а \nu \in [0, 2\pi]. На тај начин следећим тригонометријским идентитеом одређује се фамилија елипси константнога \mu:


\frac{x^{2}}{a^{2} \cosh^{2} \mu} + \frac{y^{2}}{a^{2} \sinh^{2} \mu} = \cos^{2} \nu + \sin^{2} \nu = 1

С друге стране другом једначином одређује се фамилија хипербола константнога \nu:


\frac{x^{2}}{a^{2} \cos^{2} \nu} - \frac{y^{2}}{a^{2} \sin^{2} \nu} = \cosh^{2} \mu - \sinh^{2} \mu = 1

Ламеови коефицијенти[уреди]

У ортогоналном координатном систему дужине вектора базе познате су као фактори скалирања или као Ламеови коефицијенти, који су за елиптичне координате:

H_\mu=H_\nu=a\sqrt{\mathrm{sh}^2\,\mu+\sin^2\nu}.

а након сређивања као:

H_\mu=H_\nu=a\sqrt{\frac{1}{2}(\mathrm{ch}\,2\mu-\cos 2\nu}).

Елеменат површине дат је са:

dS=a^2(\mathrm{sh}^2\,\mu+\sin^2\nu)\,d\mu\,d\nu,

а Лапласијан:

\nabla^2\Phi=\frac{1}{a^2(\mathrm{sh}^2\,\mu+\sin^2\nu)}\left(\frac{\partial^2\Phi}{\partial\mu^2}+\frac{\partial^2\Phi}{\partial\nu^2}\right).

Алтернативна дефиниција[уреди]

Понекад се користи и алтернативна дефиниција елиптичних координата (\sigma,\;\tau):

\sigma=\mathrm{ch}\,\mu,
\tau=\cos\nu.

Координате (\sigma,\;\tau) имају једноставан однос са удаљеностима d_{1},d_{2} од фокуса F_{1} и F_{2}.

d_1+d_2=2a\sigma,
d_1-d_2=2a\tau,

На тај начин добија се и:

d_1=a(\sigma+\tau);
d_2=a(\sigma-\tau).

Тај координатни систем има недостатак да координате (x,y) и (x,-y) имају исти (\sigma, \tau), па конверзија није једнозначна:

x=a\sigma\tau;
y^2=a^2(\sigma^2-1)(1-\tau^2).

Ламеови коефицијенти алтернативне верзије[уреди]

Ламеови коефицијенти алтернативних елиптичних координата (\sigma, \tau) су:


h_{\sigma} = a\sqrt{\frac{\sigma^{2} - \tau^{2}}{\sigma^{2} - 1}}

h_{\tau} = a\sqrt{\frac{\sigma^{2} - \tau^{2}}{1 - \tau^{2}}}.

Елеменат површине дат је са:


dA = a^{2} \frac{\sigma^{2} - \tau^{2}}{\sqrt{\left(\sigma^{2} - 1 \right) \left(1 - \tau^{2} \right)}} d\sigma d\tau

а Лапласијан је:


\nabla^{2} \Phi = 
\frac{1}{a^{2} \left(\sigma^{2} - \tau^{2} \right) }
\left[
\sqrt{\sigma^{2} - 1} \frac{\partial}{\partial \sigma} 
\left(\sqrt{\sigma^{2} - 1} \frac{\partial \Phi}{\partial \sigma} \right) + 
\sqrt{1 - \tau^{2}} \frac{\partial}{\partial \tau} 
\left(\sqrt{1 - \tau^{2}} \frac{\partial \Phi}{\partial \tau} \right)
\right].

Литература[уреди]

  • Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.
  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover. ISBN 978-0-486-61272-0.

Види још[уреди]