Елиптични координатни систем

Елиптични координатни систем је дводимензионални координатни систем, у ком су координатне линије представљене елипсама и хиперболама. Фокуси елипси су фиксирани на $-a$ и $+a$ на оси $x$.

Елиптични координатни систем

Основна дефиниција

Елиптичне координате $(\mu, \nu)$ обично се дефинишу као:

$x = a \ \cosh \mu \ \cos \nu$

$y = a \ \sinh \mu \ \sin \nu$

где је $\mu$ ненегативан реалан број, а $\nu \in [0, 2\pi].$ На тај начин следећим тригонометријским идентитеом одређује се фамилија елипси константнога $\mu$:

$\frac{x^{2}}{a^{2} \cosh^{2} \mu} + \frac{y^{2}}{a^{2} \sinh^{2} \mu} = \cos^{2} \nu + \sin^{2} \nu = 1$

С друге стране другом једначином одређује се фамилија хипербола константнога $\nu$:

$\frac{x^{2}}{a^{2} \cos^{2} \nu} - \frac{y^{2}}{a^{2} \sin^{2} \nu} = \cosh^{2} \mu - \sinh^{2} \mu = 1$

Ламеови коефицијенти

У ортогоналном координатном систему дужине вектора базе познате су као фактори скалирања или као Ламеови коефицијенти, који су за елиптичне координате:

$H_\mu=H_\nu=a\sqrt{\mathrm{sh}^2\,\mu+\sin^2\nu}.$

а након сређивања као:

$H_\mu=H_\nu=a\sqrt{\frac{1}{2}(\mathrm{ch}\,2\mu-\cos 2\nu}).$

Елеменат површине дат је са:

$dS=a^2(\mathrm{sh}^2\,\mu+\sin^2\nu)\,d\mu\,d\nu,$

а Лапласијан:

$\nabla^2\Phi=\frac{1}{a^2(\mathrm{sh}^2\,\mu+\sin^2\nu)}\left(\frac{\partial^2\Phi}{\partial\mu^2}+\frac{\partial^2\Phi}{\partial\nu^2}\right).$

Алтернативна дефиниција

Понекад се користи и алтернативна дефиниција елиптичних координата $(\sigma,\;\tau)$:

$\sigma=\mathrm{ch}\,\mu,$

$\tau=\cos\nu.$

Координате $(\sigma,\;\tau)$ имају једноставан однос са удаљеностима $d_{1},d_{2}$ од фокуса $F_{1}$ и $F_{2}$.

$d_1+d_2=2a\sigma,$

$d_1-d_2=2a\tau,$

На тај начин добија се и:

$d_1=a(\sigma+\tau);$

$d_2=a(\sigma-\tau).$

Тај координатни систем има недостатак да координате (x,y) и (x,-y) имају исти $(\sigma, \tau)$, па конверзија није једнозначна:

$x=a\sigma\tau;$

$y^2=a^2(\sigma^2-1)(1-\tau^2).$

Ламеови коефицијенти алтернативне верзије

Ламеови коефицијенти алтернативних елиптичних координата $(\sigma, \tau)$ су:

$h_{\sigma} = a\sqrt{\frac{\sigma^{2} - \tau^{2}}{\sigma^{2} - 1}}$

$h_{\tau} = a\sqrt{\frac{\sigma^{2} - \tau^{2}}{1 - \tau^{2}}}.$

Елеменат површине дат је са:

$dA = a^{2} \frac{\sigma^{2} - \tau^{2}}{\sqrt{\left( \sigma^{2} - 1 \right) \left( 1 - \tau^{2} \right)}} d\sigma d\tau$

а Лапласијан је:

$\nabla^{2} \Phi = \frac{1}{a^{2} \left( \sigma^{2} - \tau^{2} \right) } \left[ \sqrt{\sigma^{2} - 1} \frac{\partial}{\partial \sigma} \left( \sqrt{\sigma^{2} - 1} \frac{\partial \Phi}{\partial \sigma} \right) + \sqrt{1 - \tau^{2}} \frac{\partial}{\partial \tau} \left( \sqrt{1 - \tau^{2}} \frac{\partial \Phi}{\partial \tau} \right) \right].$

Литература

• Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.
• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0486612720

Види још

• Правоугли координатни систем
• Сферни координатни систем
• Параболички координатни систем