Епициклоида

Из Википедије, слободне енциклопедије
EpitrochoidOn3-generation.gif

Епициклоида (од грч. ὲπί -на, над и грч. κυκλος-круг ) је крива, која се добија када се једна кружница котрља по другој кружници са центром у исходишту и тада произвољна тачка покретне кружнице описује епициклоиду.

Једначина епициклиде[уреди]

Ако фиксирана кружница има радијус R, а покретна кружница радијус r тада се епициклоида може описивати следећим једначинама:

x (\theta) = (R + r) \cos \theta - r \cos \left(\frac{R + r}{r} \theta \right)
y (\theta) = (R + r) \sin \theta - r \sin \left(\frac{R + r}{r} \theta \right),

Пошто између радијуса две кружнице постоји омер \textstyle k=\frac{R}{r} онда се једначине могу написати као:

x (\theta) = r (k + 1) \cos \theta - r \cos \left((k + 1) \theta \right) \,
y (\theta) = r (k + 1) \sin \theta - r \sin \left((k + 1) \theta \right). \,

Ако је k целобројан онда је епициклоида затворена и има k шиљака. У случају да је k рационалан број једнак p/q тада епициклоида има p шиљака. У случају да је k ирационалан број крива се никада не затвара, па се добија бесконачан број шиљака. Епициклиоида са једним шиљком назива се кардиоида.

Доказ[уреди]

Pf1.jpg

Претпоставимо да желимо да решимо положај тачке p и да \alpha и \theta одговарајући углови приказани на слици. По претпоставци нема клизања између кружница, па вреди:

\ell_R=\ell_r тј.
\ell_R= \theta R, \ell_r=\alpha r, па се добија једначина:
\theta R=\alpha r и одатле
\alpha =\frac{R}{r} \theta

Са слике добија се позиција:

 x=\left(R+r \right)\cos \theta -r\cos\left(\theta+\alpha \right) =\left(R+r \right)\cos \theta -r\cos\left(\frac{R+r}{r}\theta \right)
y=\left(R+r \right)\sin \theta -r\sin\left(\theta+\alpha \right) =\left(R+r \right)\sin \theta -r\sin\left(\frac{R+r}{r}\theta \right)

Литература[уреди]