Извод сложене функције

Из Википедије, слободне енциклопедије

Извод сложене функције f'(g(x)) користи се за функције компоноване од више елементарних функција (нпр. \sin{x^2} или e^{\sin{x}}). Извод сложене функције не може се добити преко таблице извода елементарних функција, већ се он рачуна према формуле изведене из теореме:

Теорема[уреди]

За сложену функцију y = f(g(x)) каже се да постоји извод у тачки x, ако функција g(x) има извод у тачки x и ако функција f(g(x)) има извод у тачки u = g(x), а рачуна се према формули[1][2]:

y' = f'(u) \cdot  g'(x)

односно, користећи Лајбницове ознаке, формула се може написати на следећи начин:

{dy \over dx} = {dy \over du} \cdot {du \over dx}

Пример: Извод функције y = \sin {x^3}

Ако ставимо да је y = f(g(x)), где је:

f(u) = \sin{u},

док је:

u = g(x) = x^3,

онда је применом формуле за извод:

y' = f'(u) \cdot g'(x),

односно, заменом функције u у формули:

y' = (\sin {u})' \cdot (x^3)'

Применом таблице извода за елементарне функције за случај \sin {u} добија се:

y' = \cos {u} \cdot 3x^2,

односно:

y'  = 3x^2 \cdot \cos {x^3}.

Правило степена[уреди]

Извод функције: y = (g(x))^n[3]

Задата функција је композиција две елементарне функције y = f (u), где је u елементарна функција: u = g(x)^{n}, па се њен извод према формули може добити на следећи начин:

y' = f'(u) \cdot u' .... (1)

извод елементарне функције u према таблици извода износи:

u'(x) = n \cdot g(x)^{n-1} ... (2)

па се заменом (2) у (1) добија:

f'(x) = n \cdot (g(x))^{n-1} \cdot g'(x)

Правило експонента[уреди]

Извод функције : y =(e^{g(x)})[3]

Задата функција је композиција две елементарне функције y = f (u), где је f елементарна функција: f(u) = e^{u}, па се њен извод према формули може добити на следећи начин:

y' = f'(u) \cdot u',
y' =(e^{u})' \cdot u',

с обзиром да је према таблици извода:

(e^u)' = e^u,

извод задате сложене функције износи:

y' =e^u \cdot u'

или

y' = g'(x) \cdot e^{g(x)}

Извод сложене функције са два аргумента[уреди]

Постоје и сложенији случајеви. Тако, ако је

z = f(x,z) а x = g(t) и y = h(t),

тада је

{dz \over dt} = {dz \over dx} \cdot {dx \over dt} + {dz \over dy} \cdot {dy \over dt}

Општи случај[уреди]

У општем случају, нека су дата два сета функција y и u, тако да је

y_1 = f_1(u_1 \ldots u_p)
\vdots
y_m = f_m(u_1 \ldots u_p)

и

u_1 = g_1(x_1 \ldots x_n)
\vdots
u_p = g_p(x_1 \ldots x_n)

тада се парцијални извод \partial y_i \over \partial x_j рачуна као

{\partial y_i \over \partial x_j} = {\partial y_i \over \partial u_j} \cdot {\partial u_i \over \partial x_j},

док диференцијал dy_i;\ i = 1 \ldots m износи

dy_i = \sum_{j=1}^n (\sum_{k=1}^p {\partial y_i \over \partial u_k} \cdot {\partial u_x \over \partial x_i}) dx_j.

Извори[уреди]

  1. ^ Weisstein, Eric W. (6. 12. 2002.). „Chain Rule“ (на ((en))). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics (2 ed.). Chapman and Hall/CRC. стр. 382. ISBN 9781420035223 Приступљено 19. 11. 2013.. 
  2. ^ Д. Михаиловић; Р. Р. Јањић (1987). „4.1.6. Извод сложене функције“. In Никола Дончев. Елементи математичке анализе (9 ed.). Београд: Научна књига. стр. 105-107. 
  3. ^ а б Мирослав Павловић (2004). „Правило степена“ (пдф). Математика за студенте - предавања. Београд: Faculty of Economics, Finance and Administration. стр. 85 Приступљено 20. 11. 2013.. 

Види још[уреди]