Издужени сфероидни координатни систем

Из Википедије, слободне енциклопедије
Prolate spheroidal coordinates.png

Издужене сфероидне координате у тродимензионалном простору представљају ортогонални координатни систем настао ротацијом сфероида око велике оси. Ротацијом око мање оси добијају се спљоштене сфероидне координате. Издужене сфероидне координате користе се да се реше различите парцијалне диференцијалне једначине, у којима гранични услови одговарају издуженом сфероиду са два фокуса на великој оси. Један од реалних примера је електрон у електромагнетном пољу два позитивно набијена језгра, као што је случај у јонизованом молекулу водоника H_2^+

Дефиниција[уреди]

Најчешћа дефиниција издужених сфероидних координата (\mu, \nu, \phi) је:

ProlateSpheroidCoord.png

x = a \ \sinh \mu \ \sin \nu \ \cos \phi

y = a \ \sinh \mu \ \sin \nu \ \sin \phi

z = a \ \cosh \mu \ \cos \nu

где је \mu ненегативан реални број, а \nu \in [0, \pi]. Азимутални угао \phi је у интервалу [0, 2\pi).

Квадрирајући горње изразе добија се:


\frac{z^{2}}{a^{2} \cosh^{2} \mu} + \frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \sinh^{2} \mu} = \cos^{2} \nu + \sin^{2} \nu = 1

што показује да површи константнога \mu чине издужене сфероиде, а они представљају елипсе, које се ротирају око оси, које спајају њихове фокусе. На сличан начин добија се и следећа релација:


\frac{z^{2}}{a^{2} \cos^{2} \nu} - \frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2} \sin^{2} \nu} = \cosh^{2} \mu - \sinh^{2} \mu = 1

из које се види да површи константнога \nu чине хиперболоиде.

Ламеови коефицијенти скалирања[уреди]

Ламеови коефицијенти скалирања за елиптичне координате (\mu, \nu) су:


h_{\mu} = h_{\nu} = a\sqrt{\sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu}

а азимутални Ламеов коефицијент је:


h_{\phi} = a \sinh\mu \ \sin\nu

Инфинитезимални елемент запремине је:


dV = a^{3} \sinh\mu \ \sin\nu \ 
\left(\sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu \right) d\mu d\nu d\phi

а Лапласијан је:


\nabla^{2} \Phi = 
\frac{1}{a^{2} \left(\sinh^{2}\mu + \sin^{2}\nu \right)} 
\left[
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \mu^{2}} + 
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \nu^{2}} + 
\coth \mu \frac{\partial \Phi}{\partial \mu} + 
\cot \nu \frac{\partial \Phi}{\partial \nu}
\right] + 
\frac{1}{a^{2} \sinh^{2}\mu \sin^{2}\nu}
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}

Алтернативне дефиниције[уреди]

Постоји алтернативна дефиниција преко три координате (\sigma, \tau, \phi), где је: \sigma = \cosh \mu и \tau = \cos \nu.

Онда добијамо:


x  = a \sqrt{\left(\sigma^{2} - 1 \right) \left(1 - \tau^{2} \right)} \cos \phi

y  = a \sqrt{\left(\sigma^{2} - 1 \right) \left(1 - \tau^{2} \right)} \sin \phi

z = a\ \sigma\ \tau

Алтернативни Ламеови коефицијенти[уреди]

Ламеови коефицијенти за (\sigma, \tau, \phi) су:


h_{\sigma} = a\sqrt{\frac{\sigma^{2} - \tau^{2}}{\sigma^{2} - 1}}

h_{\tau} = a\sqrt{\frac{\sigma^{2} - \tau^{2}}{1 - \tau^{2}}}

h_{\phi} = a \sqrt{\left(\sigma^{2} - 1 \right) \left(1 - \tau^{2} \right)}

Инфинитезимални елемент запремине је:


dV = a^{3} \left(\sigma^{2} - \tau^{2} \right) d\sigma d\tau d\phi

а Лапласијан је:


\nabla^{2} \Phi = 
\frac{1}{a^{2} \left(\sigma^{2} - \tau^{2} \right)}
\left\{
\frac{\partial}{\partial \sigma} \left[ 
\left(\sigma^{2} - 1 \right) \frac{\partial \Phi}{\partial \sigma}
\right] + 
\frac{\partial}{\partial \tau} \left[ 
\left(1 - \tau^{2} \right) \frac{\partial \Phi}{\partial \tau}
\right]
\right\}
+ \frac{1}{a^{2} \left(\sigma^{2} - 1 \right) \left(1 - \tau^{2} \right)}
\frac{\partial^{2} \Phi}{\partial \phi^{2}}

Дивергенција је:

\operatorname{div}\mathbf{A}(\sigma, \tau, \phi) = 
\frac{1}{a(\sigma^2 - \tau^2)} \frac{\partial}{\partial \sigma} \left[ A_\sigma \sqrt{(\sigma^2-\tau^2)(\sigma^2-1)} \right] +
\frac{1}{a(\sigma^2 - \tau^2)} \frac{\partial}{\partial \tau} \left[ A_\tau \sqrt{(\sigma^2-\tau^2)(1-\tau^2)} \right] + 
\frac{1}{a\sqrt{(\sigma^2-1)(1-\tau^2)}} \frac{\partial}{\partial \phi} \Big[ A_\phi \Big]

Литература[уреди]

Види још[уреди]