Изоморфизам (математика)

Из Википедије, слободне енциклопедије

Изоморфизам у математици представља бијективно и инвертибилно пресликавање две математичке структуре из једне у другу.

Особине[уреди]

Пресликавање f из једне структуре у другу се назива изоморфизмом када је:

Ако постоји изоморфизам између две структуре, онда се за њих каже да су изоморфне. Ово се, рецимо за структуре X и Y означава са X\cong Y.

Практичан пример[уреди]

Следе примери изоморфизама из обичне алгебре.

Посматрајмо логаритамску функцију: За сваку фиксирану базу b, логаритам logb пресликава позитивне реалне бројеве \mathbb{R}^+ у реалне бројеве \mathbb{R}; формално:

\log_b : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R} \!

Ово пресликавање је један-један и на, тј, оно је бијекција са домена у кодомен логаритамске функције.

Осим што је изоморфизамскупова, логаритамска функција такође чува одређене операције. На пример, посматрајмо групу (\mathbb{R}^+,\times) позитивних реалних бројева у односу на обично множење. За логаритамску функцију важи следећи идентитет:

\log_b(x \times y) = \log_b(x) + \log_b(y) \!

Али реални бројеви у односу на сабирање су такође група. Тако да је логаритамска функција у ствари изоморфизам групе из групе (\mathbb{R}^+,\times) у групу (\mathbb{R},+).

Логаритми се стога могу користити да поједноставе множење реалних бројева. Помоћу логаритама, множење позитивних реалних бројева се замењује сабирањем логаритама. Посматрајмо групу Z/6Z бројева од 0 до 5 у односу на сабирање по модулу 6. Такође посматрајмо групу Z/2Z × Z/3Z, уређених парова где x координате могу бити 0 или 1, а y координате могу бити 0, 1, или 2, а сабирање x-координате је по модулу 2 а сабирање y-координате је по модулу 3. Ове структуре су изоморфне у односу на сабирање, ако се идентификују коришћењем следеће схеме:

(0,0) -> 0
(1,1) -> 1
(0,2) -> 2
(1,0) -> 3
(0,1) -> 4
(1,2) -> 5

или уопштено (a,b) -> (3a + 4 b) mod 6. На пример, (1,1) + (1,0) = (0,1) што се пресликава у други систем као 1 + 3 = 4. Чак иако ова два скупа изгледају различито, он су у ствари изоморфни. Општије, директан производ две цикличне групе Z/nZ and Z/mZ је цикличан ако и само ако су n и m узајамно прости.

Литература[уреди]

  • Ayres, Frank, Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1965). ISBN 0070026556.