Инверзна функција

Функција ƒ и њена инверзна ƒ^–1. Како ƒ пресликава a у 3, инверзна функција ƒ^–1 пресликава 3 назад на a.

У математици, ако функција ƒ пресликава скуп A на скуп B, онда је њена инверзна функција ƒ^-1 таква да пресликава скуп B на скуп A и то тако да сложена функција $f \circ f^{-1}$ пресликава сваки елемент скупа A на самог себе. Нема свака функција своју инверзну, она која има се зове инверзибилна.

Нпр., ако је дата функција ƒ таква да даје дужину у миљама ако је дата дужина у метрима (ƒ(x) = 1,6 · x), онда њена инверзна функција g = ƒ^-1 даје дужину у метрима ако је позната дужина у миљама (g(x) = x / 1,6).

Инверзибилност

1. Како функција мора да пресликава оригинал у само једну слику, то функција која није инјективна не може имати инверзну.
2. С друге стране, ако се опсег функције није идентичан њеном кодомену, онда за неке елементе скупа-слике неће бити дефинисано пресликавање ƒ^-1.

Зато можемо рећи да је функција инверзибилна акко је бијекција.

• 

  Сурјективно али неинјективно пресликавање

• 

  Инјективно али несурјективно пресликавање

• 

  Бијекција

Нпр. фукција $f(x)=x^2: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ није ни инјективна (јер позитивни и негативни бројеви имају исту слику), ни сурјективна (јер је ранг $\mathbb{R}^+$, а не читав кодомен $\mathbb{R}$). Иста функција, али дефинисана као $\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ има инверзну функцију $\sqrt{x}$. Функција $f(x)=x^3\,\!$ има инверзну, а $f(x)=x^3-x\,\!$ нема јер није инјективна ($f(0)=f(1)=0\,\!$).

Особине

Симетрија

Нека је id функција идентитета id_X = x. Тада важи

$\begin{align} f \circ f^{-1} = id_X \\ f^{-1} \circ f = id_Y \end{align}$

односно $(f^{-1})^{-1} = f\,\!$.

Инверзна функција сложене функције

При инверзији композиције функција, основне функције мењају редослед:

$(f \circ g)^{-1} = g^{-1} \circ f^{-1}$

Аутоинверзија

Функција идентитета је инверзна сама себи:

$id_X^{-1} = id_X\,\!$

Графичко представљање

Функција и њена инверзна функција су симетричне у односу на праву $y=x\,\!$.

Извод инверзне функције

Ако је почетна функција диференцијабилна, онда се за све тачке у којима $f(x) \neq 0\,\!$ важи следећа формула за извод инверзне функције:

$\frac{d}{dy}\left[ f^{-1}(y) \right] = \frac{1}{f'\left(f^{-1}(y)\right)}.$

Обележавање

Важно је уочити да ^-1 у означавању инверзне функције није ознака за експонент. Заправо $\tfrac{1}{f(x)}$ се записује као ƒ(x)^-1.

У инфинитезималном рачуну ознака ƒ⁽ⁿ⁾ означава n-ти извод функције:

$f^{(n)}(x) = \frac{d^{n}}{dx^{n}}f(x).$

У тригонометрији, из историјских разлога, $\sin^2 x = (\sin x)^2\,\!$ а не $\sin (\sin x)\,\!$, али је $\sin^{-1} x = \arcsin x\,\!$, а не $\tfrac{1}{\sin x}$. Управо да би се избегла ова непрецизност, за инверзне тригонометријске функције користи се ознака arc, а за реципрочне потпуно друга имена ($\tfrac{1}{\sin x} = \csc x$). .

Литература

• Spivak, Michael (1994), Calculus (3rd ed.), Publish or Perish, ISBN 0914098896 
• Stewart, James (2002), Calculus (5th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0534393397 

Види још

• Теорија скупова
• Функција
• Списак инверзних функција
• Инјективно пресликавање
• Сурјективно пресликавање
• Бијективно пресликавање