Инверзне хиперболичне функције

Из Википедије, слободне енциклопедије
Funkcija artanh.

Инверзне хиперболичне функције су инверзи хиперболичних функција: sh x - синус хиперболични, ch x - косинус хиперболични, th x - тангенс хиперболични, cth - котангенс хиперболични. Називају се и ареа-фунције по латинској речи area - површина, јер представљају површину криволинијског троугла између темена хиперболе и исходишта координатног система (в. хиперболичне функције).[1][2][3]

ареа-синус \operatorname{arsh}x=\ln(x+\sqrt{x^2+1}), \; -\infty<x<\infty,
ареа-косинус \operatorname{arch}x=\ln(x+\sqrt{x^2-1}),\; 1<x<\infty,
ареа-тангенс \operatorname{arth}x=\frac{1}{2}\ln\frac{1+x}{1-x},\; -1<x<1,
ареа-котангенс \operatorname{arcth}x=\frac{1}{2}\ln\frac{10x}{1-x},\; -1<x<1.

Англосаксонске ознаке за хиперболични синус, косинус, тангенс и котангенс су: sinh, cosh, tanh, coth па се одговарајуће инверзне функције означавају arsinh, arcosh, artanh, arcoth. Због аналогија са тригонометријом, исте функције се понекад називају и аркус-функције, са суфиксом хиперболичне да би се разликовале од тригонометријских функција. Отуда скраћенице: arcsinh, arccosh, arctanh, arccoth. Ми их тада читамо аркус синус хиперболични, итд. Такође, инверзне функције означавају се уопште са индексом "-1", тако да имамо и следеће скраћенице: sinh-1, cosh-1, tanh-1, coth-1. Читали би их: синус хиперболични на минус прву, итд.

Изводи инверзиних хиперболичних функција су:

(\operatorname{arsh}x)'=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}},
(\operatorname{arch}x)'=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}},
(\operatorname{arth}x)'=\frac{1}{x^2-1},
(\operatorname{arcth}x)'=-\frac{1}{x^2-1}.

Инверзне хиперболичне функције се често јављају при интеграљењу рационалних функција и квадратних ирационалности.

У комплексној равни ове функције су вишезначне. Када се у њиховим формулама узму главне вредности логаритама добијају се једнозначне гране, тзв. главне вредности, које се пишу arsh z, arch z, arth z. Инверзне хиперболичне функције су везане с главним вредностима инверзних тригонометријских функција формулама:

\operatorname{arsh}z=\frac{1}{i}\arcsin iz,
\operatorname{arch}z=i\arccos z,
\operatorname{arth}z=\frac{1}{i}\operatorname{arctg}iz,
\operatorname{arcth}z=i\operatorname{arctg}iz, \; i^2=-1.

Види још[уреди]

Референце[уреди]

  1. ^ Gullberg 1997, стране 539
  2. ^ Eberhard Zeidler, Wolfgang Hackbusch and Hans Rudolf Schwarz, translated by Bruce Hunt, Oxford Users' Guide to Mathematics (Oxford: Oxford University Press, 2004). ISBN 978-0-19-850763-5., Section 0.2.13
  3. ^ Bronshtein, Semendyayev & Musiol 2007, стране 91

Литература[уреди]

Спољашње везе[уреди]

Тригонометријске и хиперболичне функције
Синус Косинус Тангенс Котангенс Секанс Косеканс
Функција sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x) sec(x) cosec(x)
Инверзна arcsin(x) arccos(x) arctg(x) arcctg(x) arcsec(x) arccosec(x)
Хиперболична sinh(x) cosh(x) tgh(x) ctgh(x) sech(x) cosech(x)
Инв. хиперболична arcsinh(x) arccosh(x) arctgh(x) arcctgh(x) arcsech(x) arccosech(x)