Канторов став о равномерној непрекидности

Из Википедије, слободне енциклопедије

Канторов став даје општи критеријум за одређивање равномерне непрекидности функција.

Формулација[уреди]

Канторов став о равномерној непрекидности функција или Канторова теорема о равномерној непрекидности функција гласи:

Свака функција f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} која је непрекидна на интервалу [a,b], равномерно је непрекидна на њему.

Доказ[уреди]

Део 1:

Из дефиниције непрекидности имамо да ако је функција f:[a,b] \rightarrow \mathbb{R} непрекидна на интервалу [a,b] (дато као услов за теорему), онда за произвољну тачку x из тог сегмента постоји нека околина U(x) = (x - \delta, x + \delta) и за све тачке x_1 \in U(x) важи: |f(x) - f(x_1)| < \frac { \varepsilon} {2}).

Изаберимо 2 тачке, x_1, x_2 \in U(x). Тада је:

|f(x_1) - f(x_2)| \leq |f(x) - f(x_1)| + |f(x) - f(x_2)| < \frac { \varepsilon} {2} + \frac { \varepsilon} {2} = \varepsilon.

Део 2:

Изаберимо сада околину дупло мањег полупречника, U'(x) = (x - \frac { \delta} {2}, x + \frac { \delta} {2}). Ако такву околину конструишемо за сваку тачку сегмента [a,b], добићемо скуп отворених интервала који очигледно прекрива цео сегмент [a,b], па скуп тих интервала чини покривач сегмента [a,b]. Из Борел-Лебегове леме имамо да постоји коначан подпокривач тог интервала, тј. да постоје тачке x_1, x_2, ..., x_n тако да њихове околине U'_1, U'_2, ..., U'_n образују подпокривач сегмента [a,b]. Како тачака x_1, x_2, ..., x_n има коначно много, може се међу њиховим околинама пронаћи најмање  \frac {\delta_i} {2} и означимо га са  \delta.

Део 3:

Изаберимо сада неку тачку x' из интервала [a,b] која припада неком од интервала U'_1, U'_2, ..., U'_n, што записујемо: |x_i - x'| < \frac { \delta_i} {2}.

Изаберимо и тачку x'' из интервала [a,b] која се налази у \delta-околини тачке x', тј. |x' - x''| < \delta. То можемо урадити по дефиницији, зато што је функција у целом сегменту непрекидна, а пошто је  \delta \leq \frac { \delta_i} {2}, онда је сигурно и |x' - x''| < \frac { \delta_i} {2}.

Сада, из |x_i - x'| < \frac { \delta_i} {2} и |x' - x''| < \frac { \delta_i} {2} имамо да је:

|x_i - x''| \leq |x' - x_i| + |x' - x''| < \frac { \delta_i} {2} + \frac { \delta_i} {2} = \delta_i,

тј. обе тачке, и x' и x'', припадају  \delta_i-околини тачке  \delta_i, односно, обе се налазе унутар неке околине (x - \delta_i, x + \delta_i), па из Дела 1: имамо да је онда |f(x') - f(x'')| < \varepsilon, што је и требало доказати.

Напомена[уреди]

Канторов став у наведеном облику се односи на реалну анализу. Аналогна теорема постоји и у општијем случају, у топологији код метричких простора.

Види још[уреди]

Литература[уреди]

  • Душан Аднађевић, Зоран Каделбург: Математичка анализа 1, Студентски трг, Београд, 1995.