Клебш-Горданови коефицијенти

Из Википедије, слободне енциклопедије

Клебш-Горданови коефицијенти са ознаком \langle j_1m_1j_2m_2|JM\rangle или C^{JM}_{j_1m_1j_2m_2} користе се у математици и физици да би се за Лијеве групе декомпоновао тензорски производ две иредуцибилне репрезентације. Користе се и приликом збрајања угаоних момената. Именовани су у част немачких математичара Алфреда Клебша и Паула Алберта Гордана.

Дефиниција[уреди]

Нека Лијева група G има две иредуцибилне репрезентације D^{(\alpha)} и D^{(\beta)}. Вектори базе у две репрезентације претпоставимо да су \psi_\mu^{(\alpha)} и \psi_\nu^{(\beta)}. Иредуцибилни тензорски оператор представља тензорске компоненте \hat F_\chi^{(k)}, које се трансформишу по иредуцибилним репрезентацијама групе, тј. ако задовољавају услов:

\tilde\hat F_\chi^{(k)}=\sum_{\chi'}D^{(k)}_{\chi'\chi}(g)\hat F_{\chi'}^{(k)}.

Вектори |\hat F^{(k)}_\chi\psi^{(\beta)}_\nu\rangle , где \chi=1,\;2,\;\ldots,\;f_k;\;\nu=1,\;2,\;\ldots,\;f_\beta образују базу репрезентације од D^{(k)}\times D^{(\beta)}. У општем случају тај приказ је редуцибилан, па се даде приказати помоћу линеарних комбинација базе иредуцибилих репрезентација. Добија се:

|\hat F_\chi^{(k)}\psi_\nu^{(\beta)}\rangle=\sum_{\gamma\rho}\langle k\chi,\;\beta\nu\vert\gamma\rho\rangle\{\hat F^{(k)}\psi^{(\beta)}\}_\rho^\gamma.

Тако дани коефицијенти \langle k\chi,\;\beta\nu\vert \gamma\rho\rangle називају се општи Клебш-Горданови коефицијенти групе G.

Оператори угаоних момената[уреди]

Оператори угаоних момената су аутоадјунгирани оператори, који задовољавају релације комутације:


  [\textrm{j}_k,\textrm{j}_l] = \textrm{j}_k \textrm{j}_l - \textrm{j}_l \textrm{j}_k = i\hbar \sum_m
\varepsilon_{kl m}\textrm{j}_m, \quad\mathrm{gde}\quad k,l,m \in (x,y,z)

а \varepsilon_{klm} је Леви-Чивита симбол. Три оператора заједно чине векторски оператор: 
\mathbf{j} = [\textrm{j}_x,\textrm{j}_y,\textrm{j}_z]


\mathbf{j}^2 = \textrm{j}_x^2+\textrm{j}_y^2+\textrm{j}_z^2. \, 
је пример Казимировога оператора.

\textrm{j}_\pm = \textrm{j}_x \pm i \textrm{j}_y. \,

Стања угаоних момената[уреди]

Из горњих дефиниција добија се да \mathbf{j}^2 комутира са \textrm{j}_x, \textrm{j}_y and \textrm{j}_z:


  [\mathbf{j}^2, \textrm{j}_k] = 0\ \mathrm{za}\ k = x,y,z

Када два ермитска оператора комутирају тада постоји заједнички скуп својствених функција. Одаберу ли се \mathbf{j}^2 и \textrm{j}_z онда налазимо својствена стања користећи комутационе релације:


\begin{alignat}{2}
  \mathbf{j}^2 |j\,m\rangle = \hbar^2 j(j+1) |j\,m\rangle & \;\;\; j=0,\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}, 2, \ldots\\
   \textrm{j}_z|j\,m\rangle = \hbar m |j\,m\rangle               & \;\;\; m = -j, -j+1, \ldots , j.
\end{alignat}

С друге стране оператори \textrm{j}_{+} и \textrm{j}_{-} мењају m вредности:


  \textrm{j}_\pm |j\,m\rangle = C_\pm(j,m) |j\,m\pm 1\rangle

  C_\pm(j,m) = \sqrt{j(j+1)-m(m\pm 1)} = \sqrt{(j\mp m)(j\pm m + 1)}.

Стања угаоних момената мора да буду ортогоналана и нормализирана:


  \langle j_1\,m_1 | j_2\,m_2 \rangle = \delta_{j_1,j_2}\delta_{m_1,m_2}.

Тензорски производ[уреди]

Нека V_1 представља 2j_1+1-димензионални векторски простор са базом одређеном стањима:


|j_1 m_1\rangle,\quad m_1=-j_1,-j_1+1,\ldots j_1

Други простор V_2 нека је 2j_2+1-димензионални векторски простор са базом одређеном стањима:


|j_2 m_2\rangle,\quad m_2=-j_2,-j_2+1,\ldots j_2.

Тензорски производ тих простора V_{12}\equiv V_1\otimes V_2 је (2j_1+1)(2j_2+1) димензионалан простор са базом:


|j_1 m_1\rangle|j_2 m_2\rangle \equiv |j_1 m_1\rangle \otimes |j_2 m_2\rangle, \quad m_1=-j_1,\ldots j_1, \quad m_2=-j_2,\ldots j_2.

Дејство оператора на таквој бази може се дефинисати помоћу:


  (\textrm{j}_i \otimes 1)|j_1 m_1\rangle|j_2 m_2\rangle \equiv (j_i|j_1m_1\rangle) \otimes |j_2m_2\rangle

и


  (1 \otimes \textrm{j}_i) |j_1 m_1\rangle|j_2 m_2\rangle \equiv |j_1m_1\rangle \otimes j_i|j_2m_2\rangle
\quad\mathrm{za}\quad i = x,y,z.

Укупни угаони момент се онда може дефинисати са:


  \textrm{J}_i = \textrm{j}_i \otimes 1 + 1 \otimes \textrm{j}_i\quad\mathrm{za}\quad i = x,y,z.

Угаони моменти задовољавају комутационе релације:


  [\textrm{J}_k,\textrm{J}_l] =  i\hbar\epsilon_{klm}\textrm{J}_m,  \quad \mathrm{}\quad k,l,m \in (x,y,z)
па следи:

  \begin{align}
  \mathbf{J}^2 |(j_1j_2)JM\rangle &= \hbar^2 J(J+1) |(j_1j_2)JM\rangle \\
  \textrm{J}_z |(j_1j_2)JM\rangle &= \hbar M |(j_1j_2)JM\rangle,\quad \mathrm{za}\quad M=-J,\ldots,J.
  \end{align}

Укупни угаони момент треба да задовољава триангуларну релацију:


|j_1-j_2| \leq J \leq j_1+j_2.

Укупан број својствених стања једнак је димензији V_{12}


  \sum_{J=|j_1-j_2|}^{j_1+j_2} (2J+1) = (2j_1+1)(2j_2+1).

Формална дефиниција коефицијената[уреди]

Стања укупнога угаонога момента могу се развити:


|(j_1j_2)JM\rangle = \sum_{m_1=-j_1}^{j_1} \sum_{m_2=-j_2}^{j_2}
|j_1m_1j_2m_2\rangle \langle j_1m_1j_2m_2|JM\rangle

а коефицијенти \langle j_1m_1j_2m_2|JM\rangle тога развоја називају се Клебш-Горданови коефицијенти. Уколико на обе стране горњега израза применимо оператор 
  \textrm{J}_z = \textrm{j}_z \otimes 1 + 1 \otimes \textrm{j}_z
онда можемо да видимо да су коефицијенти различити од нуле само ако је 
M = m_1 + m_2.\,

Рекурзије[уреди]

Уз помоћ оператора   \textrm{J}_\pm = \textrm{j}_\pm \otimes 1 + 1 \otimes \textrm{j}_\pm
добијамо:


  \textrm{J}_\pm|(j_1j_2)JM\rangle = C_\pm(J,M) |(j_1j_2)JM\pm 1\rangle =
  C_\pm(J,M)\sum_{m_1m_2}|j_1m_1\rangle|j_2m_2\rangle \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M\pm 1\rangle.

Применимо ли исти оператор на десну страну прве једначине из прошлога поглавља добија се:


  \begin{align}
  \textrm{J}_\pm  & \sum_{m_1m_2} |j_1m_1\rangle|j_2m_2\rangle \langle j_1m_1j_2m_2|JM\rangle\\
  & =\sum_{m_1m_2}\left[ C_\pm(j_1,m_1)|j_1 m_1\pm 1\rangle |j_2m_2\rangle
                     +C_\pm(j_2,m_2)|j_1 m_1\rangle |j_2 m_2\pm 1\rangle \right]
                \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M\rangle \\
 &= \sum_{m_1m_2} |j_1m_1\rangle|j_2m_2\rangle \left[
   C_\pm(j_1,m_1\mp 1) \langle j_1 {m_1\mp 1} j_2 m_2|J M\rangle
   +C_\pm(j_2,m_2\mp 1) \langle j_1 m_1 j_2 {m_2\mp 1}|J M\rangle \right].
 \end{align}

Комбинујући те резултате добија се рекурзија:


  C_\pm(J,M) \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M\pm 1\rangle
  = C_\pm(j_1,m_1\mp 1) \langle j_1 {m_1\mp 1} j_2 m_2|J M\rangle
   + C_\pm(j_2,m_2\mp 1) \langle j_1 m_1 j_2 {m_2\mp 1}|J M\rangle.

Узмемо ли M=J добијамо:


  0 = C_+(j_1,m_1-1) \langle j_1 {m_1-1} j_2 m_2|J J\rangle
      + C_+(j_2,m_2-1) \langle j_1 m_1 j_2 m_2-1|J J\rangle.

Ортогоналност[уреди]


  \sum_{J=|j_1-j_2|}^{j_1+j_2} \sum_{M=-J}^{J}
  \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M\rangle\langle J M|j_1 m_1' j_2 m_2'\rangle=
  \langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_1 m_1' j_2 m_2'\rangle
   = \delta_{m_1,m_1'}\delta_{m_2,m_2'}

  \sum_{m_1m_2} \langle J M|j_1 m_1 j_2 m_2\rangle
                \langle j_1 m_1 j_2 m_2|J' M'\rangle
  = \langle J M | J' M'\rangle  
   = \delta_{J,J'}\delta_{M,M'}.

Експлицитан приказ коефицијената[уреди]

\langle j_1j_2;m_1m_2|j_1j_2;jm\rangle=

\delta_{m,m_1+m_2}
\sqrt{\frac{(2j+1)(j+j_1-j_2)!(j-j_1+j_2)!(j_1+j_2-j)!
}{(j_1+j_2+j+1)!}}
\ \times


\sqrt{(j+m)!(j-m)!(j_1-m_1)!(j_1+m_1)!(j_2-m_2)!(j_2+m_2)!}\ \times


\sum_k \frac{(-1)^k}{k!(j_1+j_2-j-k)!(j_1-m_1-k)!(j_2+m_2-k)!(j-j_2+m_1+k)!(j-j_1-m_2+k)!}.

Специјални случајеви[уреди]

За J=0 Клебш-Горданови коефицијенти су:


  \langle j_1, m_1; j_2, m_2 | 0 0\rangle  = \delta_{j_1,j_2}\delta_{m_1,-m_2}
\frac{(-1)^{j_1-m_1}}{\sqrt{2j_2+1}}.

За J=j_1+j_2 и M=J имамо


   \langle j_1, j_1; j_2, j_2 | j_1+j_2, j_1+j_2\rangle = 1.

За j_1 = j_2 = J/2 и m_2 = {-m_1} вреди:


   \langle j_1, m_1; j_1, {-m_1} | 2j_1, 0\rangle = \frac{(2j_1)!^2}{(j_1 - m_1)! (j_1 + m_1)! \sqrt{(4 j_1)!}}.

За j_1 = j_2 = m_1 = {-m_2} вреди:


   \langle j_1, j_1; j_1, {-j_1} | J, 0\rangle = (2j_1)! \sqrt{\frac{2J+1}{(J+2j_1+1)!(2j_1 - J)!}}.

За j_2 = 1, m_2=0 имамо:


  \begin{align}
    \langle j_1, m; 1, 0 | j_1+1, m \rangle & = \sqrt{\frac{(j_1-m+1)(j_1+m+1)}{(2j_1+1)(j_1+1)}},\\
    \langle j_1, m; 1, 0 | j_1,   m \rangle & = \frac{m}{\sqrt{j_1(j_1+1)}},\\
    \langle j_1, m; 1, 0 | j_1-1, m \rangle & = -\sqrt{\frac{(j_1-m)(j_1+m)}{j_1(2j_1+1)}}.
  \end{align}

Симетрије[уреди]


\begin{align}
\langle j_1 m_1 j_2 m_2|J M\rangle
& = (-1)^{j_1+j_2-J}
\langle j_1\, {-m_1} j_2 \, {-m_2}|J \, {-M}\rangle \\
& = (-1)^{j_1+j_2-J} \langle j_2 m_2 j_1 m_1|J M\rangle \\
& = (-1)^{j_1 - m_1} \sqrt{\frac{2 J +1}{2 j_2 +1}}  \langle j_1 m_1 J \, {-M}| j_2\,{-m_2} \rangle \\
& = (-1)^{j_2 + m_2} \sqrt{\frac{2 J +1}{2 j_1 +1}}  \langle J \, {-M} j_2 m_2| j_1 \, {-m_1} \rangle \\
& = (-1)^{j_1 - m_1} \sqrt{\frac{2 J +1}{2 j_2 +1}}  \langle J M  j_1 \, {-m_1} | j_2 m_2 \rangle \\
& = (-1)^{j_2 + m_2} \sqrt{\frac{2 J +1}{2 j_1 +1}}  \langle j_2 \, {-m_2} J M | j_1 m_1 \rangle
\end{align}

Веза са 3-jm симболима и D-матрицама[уреди]

Клебш-Горданови коефицијенти повезани су са 3-ј симболима:


  \langle j_1 m_1 j_2 m_2 | j_3 m_3 \rangle =
  (-1)^{j_1-j_2+m_3}\sqrt{2j_3+1}
\begin{pmatrix}
  j_1 & j_2 & j_3\\
  m_1 & m_2 & -m_3
\end{pmatrix}.

Интеграцијом три Вигнерове D матрице добија се Клебш Горданов коефицијент:


  \int_0^{2\pi} d\alpha \int_0^\pi \sin\beta d\beta \int_0^{2\pi} d\gamma
  D^J_{MK}(\alpha,\beta,\gamma)^\ast D^{j_1}_{m_1k_1}(\alpha,\beta,\gamma) D^{j_2}_{m_2k_2}(\alpha,\beta,\gamma)
  = \frac{8\pi^2}{2J+1}  \langle j_1 m_1 j_2 m_2 | J M \rangle \langle j_1 k_1 j_2 k_2 | J K \rangle.

Литература[уреди]

  • 3ј, 6ј и 9ј симболи
  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0486612720
  • Edmonds, A. R., Angular Momentum in Quantum Mechanics, Princeton, New Jersey: Princeton University Press (1957), ISBN 0-691-07912-9
  • Messiah, Albert , Quantum Mechanics (Volume II) (12th ed.), New York: North Holland Publishing (1981), ISBN 0-7204-0045-7