Коваријантан извод

Из Википедије, слободне енциклопедије
Паралелни транспорт на сфери

Коваријантан извод у диференцијалној геометрији представља генерализацију општега извода за тензорска поља и векторе у криволинијским координатним системима. Коваријантни извод тензорскога поља T у смеру тангентнога вектора {\mathbf v} означава се \nabla_{\mathbf v}T. Означава се на више различитих начина \nabla_\ell A^{ik}= A^{ik} {}_{;\ell}=D_\ell A^{ik}. За вектор коваријантни извод је дан са следећом формулом:

D_\ell A^i=\left(\frac{\partial A^{i}}{\partial x^\ell}+\Gamma^i{}_{k\ell} A^k \right)

Паралелни транспорт[уреди]

Коваријантни и обични извод не разликују се за скаларне функције, али разликује се за векторе и тензоре. За уобичајен Декартов координатни систем добро је дефинисано одузимање вектора, који се налазе у различитим тачкама простора. Два вектора се одузму тако да се један од њих транслатује до другога и онда се се изврши одузимање. За криволинијске координате паралени транспорт или транслација вектора изводи се тако да се вектор транслатује до другога вектора, али пошто у криволинијским координатама транслација није иста као у равном координатном систему појављује се разлика приликом транслације у два различита система.

Извод формуле[уреди]

Када у криволинијском систему одузимамо два вектора поред уобичајене разлике два вектора у правоугаоном систему имамо и додатну разлику због паралелнога транспорта једнога вектора до другога.

Нека у x^i вектор има вредност A^i, а у некој тачки x^i+dx^i вредност A^i+dA^i. Ако вектор A^i транспортујемо до x^i+dx^i он се због паралелнога транспорта у криволинијским координатама промени за \delta A^i. Укупна разлика два вектора постаје онда:

DA^i=dA^i-\delta A^i

Ту се користи Ајнштајнова конвенција да се сумира по индексима који се појављаују више пута. Паралелни транспорт зависан је од Кристофелових симбола:

\delta A^i=-\Gamma^i{}_{k\ell} A^k dx^l.

Пошто је dA^i=\frac{\partial A^{i}}{\partial x^\ell} dx^l добија се:

DA^i=\left(\frac{\partial A^{i}}{\partial x^\ell}+\Gamma^i{}_{k\ell} A^k \right) dx^l

односно

D_\ell A^i=\left(\frac{\partial A^{i}}{\partial x^\ell}+\Gamma^i{}_{k\ell} A^k \right)

Коваријантни извод за тензоре[уреди]

Постоји више различитих ознака за коваријантан извод: нпр:

\nabla_\ell A^{ik}= A^{ik} {}_{;\ell}=D_\ell A^{ik}

Коваријантни извод векторскога поља је:

\nabla_\ell V^m = \frac{\partial V^m}{\partial x^\ell} + \Gamma^m{}_{k\ell} V^k.\

Уколико се ради о систему, који нема закривљене координате или ако су Христофелови коефицијенти једнаки нули онда се коваријантан извод за векторе не разликује од обичнога извода.

Коваријантни извод скаларнога поља једнак је обичном изводу:

D_\mu \varphi = \frac{\partial \varphi}{\partial x^\mu}.

а коваријантни извод ковекторскога поља \omega_m\ је

\nabla_\ell \omega_m = \frac{\partial \omega_m}{\partial x^\ell} - \Gamma^k{}_{\ell m} \omega_k.\


Коваријантни извод тензорскога поља A^{ik}\ је

\nabla_\ell A^{ik}=\frac{\partial A^{ik}}{\partial x^\ell} + \Gamma^i{}_{m\ell} A^{mk} + \Gamma^k{}_{m\ell} A^{im}, \

тј.

 A^{ik} {}_{;\ell} = A^{ik} {}_{,\ell} + A^{mk} \Gamma^i{}_{m\ell} + A^{im} \Gamma^k{}_{m\ell}. \

За мешано тензорско поље имамо:

 A^i {}_{k;\ell} = A^i {}_{k,\ell} + A^{m} {}_k \Gamma^i{}_{m\ell} - A^i {}_m \Gamma^m{}_{k\ell}, \

а за тензорско поље поље типа (0,2) коваријантан извод је:

 A_{ik;\ell} = A_{ik,\ell} - A_{mk} \Gamma^m{}_{i\ell} - A_{im} \Gamma^m{}_{k\ell}. \

Коваријантни извод за неки тензор типа (n, m) је:


\nabla_{k} v^{i_1 \cdots i_n}_{j_1 \cdots j_m} = \frac{\partial}{\partial x^k} v^{i_1 \cdots i_n}_{j_1 \cdots j_m} +
\sum_{\alpha = 1}^{n} \Gamma^{i_\alpha}_{k \ell} \ v^{i_1 \cdots i_{\alpha - 1} \ \ell \ i_{\alpha + 1} \cdots i_n}_{j_1 \cdots j_m} -
\sum_{\alpha = 1}^{m} \Gamma^{\ell}_{k i_\alpha} \ v^{i_1 \cdots i_n}_{j_1 \cdots j_{\alpha - 1} \ \ell \ j_{\alpha + 1} \cdots j_m}

Литература[уреди]