Комутативни прстен

Из Википедије, слободне енциклопедије

У теорији прстена, грани апстрактне алгебре, комутативни прстен је прстен у коме је операција множења комутативна. Ово значи да ако су a и b било која два елемента прстена, дона је a×b=b×a.

Проучавање комутативних прстена се назива комутативна алгебра.

Примери[уреди]

  • Најважнији пример је прстен целих бројева са операцијама сабирања и множења. Уобичајено множење целих бројева је комутативно. Прстен се обично обележава словом Z, од немачке речи Zahlen (бројеви).
  • Рационални, реални и комплексни бројеви чине комутативне прстене; они су штавише поља.
  • Општије, свако поље је комутативни прстен, па је класа поља поткласа класе комутативних прстенова.
  • Прост пример некомутативног прстена је скуп свих матрица димензије 2-са-2 чији су елементи реални бројеви. На пример, множење матрица
\begin{bmatrix}
1 & 1\\
0 & 1\\
\end{bmatrix}\cdot
\begin{bmatrix}
1 & 1\\
1 & 0\\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
2 & 1\\
1 & 0\\
\end{bmatrix}
није једнако множењу изведеном супротним редоследом:
\begin{bmatrix}
1 & 1\\
1 & 0\\
\end{bmatrix}\cdot
\begin{bmatrix}
1 & 1\\
0 & 1\\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
1 & 2\\
1 & 1\\
\end{bmatrix}.
  • Ако је n позитиван цео број, тада скуп Zn целих бројева по модулу n чини комутативни прстен са n елемената (види модуларна аритметика).
  • Ако је R дати комутативни прстен, онда је скуп свих полинома променљиве X чији коефицијенти су из R гради нови комутативни прстен који се означава са R[X].