Контракција (математика)

У математици, контракција, или функција контракције, на метричком простору (M, d) је функција f са скупа M на самог себе, са својством да постоји неки реалан број $0 < k < 1$, такав да, за свако x и y из M,

$d(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y).$

Најмање такво k се назива Липшицовом константом за f. Контрактивна пресликавања се називају Липшицовим пресликавањима. Ако је горњи услов задовољен за $0 < k \leq 1$, онда се каже да је пресликавање неекспанзивно.

Општије, идеја контрактивног пресликавања се може дефинисати за пресликавања између метричких простора. Стога, ако су (M, d) и (N, g) два метричка простора, и $f:M\rightarrow N$, онда тражимо константу k, такву да је $g(f(x), f(y))\leq k\,d(x, y)$ за свако x и y из M.

Свака контракција је Липшиц-непрекидна и стога униформно непрекидна.

Контракционо пресликавање има највише једну непокретну тачку. Штавише, Банахова теорема о непокретној тачки тврди да свако контракционо пресликавање на непразном комплетном метричком простору има јединствену непокретну тачку, и да за свако x из M итерирани низ x, f (x), f (f (x)), f (f (f (x))), ... конвергира ка тој непокретној тачки. Овај концепт је веома користан за системе итерираних функција где се контракције често користе. Банахова теорема о непокретној тачки се такође примењује у доказивању постојања решења ординарних диференцијалних једначина, као и у једном доказу теореме о инверзу функције.

Литература

• Vasile I. Istratescu, Fixed Point Theory, An Introduction, D.Reidel, Holland (1981). ISBN 90-277-1224-7
• Andrzej Granas and James Dugundji, Fixed Point Theory (2003) Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-00173-5
• William A. Kirk and Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory (2001), Kluwer Academic, London ISBN 0-7923-7073-2