Конусни пресек

Из Википедије, слободне енциклопедије
Конусни пресеци

У математици, конусни пресек (или само коника) је крива која се добија у пресеку конуса (прецизније, праве кружне конусне површи) и равни. У аналитичкој геометрији, коника се може дефинисати као раванска алгебарска крива реда два. Може се дефинисати и као геометријско место тачака са особином да им је растојање до фиксне тачке, која се назива жижом или фокусом, једнако растојању до фиксне праве која се назива директрисом.

Конусне пресеке је изучавао и именовао старогрчки математичар Аполоније у свом делу „Конике“ око 200. године п. н. е.

Конструкција и особине[уреди]

Три основна конусна пресека су елипса, парабола и хипербола. Кружница се може третирати као четврта коника, као што је то чинио Аполоније, или као специјалан случај елипсе. Кружница и елипса се добијају када је пресек конуса са равни затворена крива. Кружница се добија када се раван која сече конус постави парелелно са равни која генерише кружницу конуса -када је у питању прав конус као на слици на врху стране, то значи да је пресечна раван нормална на осу симетрије конуса. Уколико је пресечна раван паралелна тачно једној правој која генерише конус, добијени конусни пресек није ограничен и назива се параболом. У преосталом случају, када раван пресеца обе половине конуса, добијају се две раздвојене неограничене криве које се називају гранама хиперболе.

Различити параметри се повезују са конусним пресецима:

конусни пресек једначина ексцентрицитет (e) линеарни ексцентрицитет (c) semi-latus rectum () фокални параметар (p)
кружница x^2+y^2=a^2 \,  0 \,  0 \,  a \,  \infty
елипса \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} \sqrt{a^2-b^2} \frac{b^2}{a} \frac{b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}
парабола y^2=4ax \,  1 \,  a \,  2a \,  2a \,
хипербола \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} \sqrt{a^2+b^2} \frac{b^2}{a} \frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}
Параметри конусног пресека у случају елипсе

Важе следеће једнакости:

  • p e = \ell \,
  • a e = c. \,

Канонски облик[уреди]

Коришћењем координата једначине коника се могу записати у свом канонском облику:

  • Кружница: x^2+y^2=a^2 \,
  • Елипса: {x^2\over a^2}+{y^2\over b^2}=1
  • Парабола: y^2=4ax ,\; x^2=4ay
  • Хипербола: {x^2\over a^2} - {y^2\over b^2}=1,\; {x^2\over b^2} - {y^2\over a^2}=-1

Сви наведени пресеци су симетрични у односу на x-осу, док су кружница, елипса и хипербола симетричне и у односу на y-осу.


Конусни пресеци могу бити задати и својим параметарским једначинама:

Спољашње везе[уреди]