Копланарност

Копланарност је појам из области геометрије, и означава особину низа тачака да се налазе у истој равни. Три тачке су увек копланарне а, ако нису колинеарне, такође једнозначно дефинишу и раван у којој се налазе. Додавањем четврте тачке скупу од три неколинеарне тачке се већ долази у ситуацију када она мора да задовољава одређене услове, како би све четри тачке биле копланарне.

Начини утврђивања копланаронсти

Ово поглавље разматра начине утврђивања копланарности четри различите и неколинеарне тачке, A, B, C и D. Уколико су најмање две од четри тачке колинеарне, такође су и копланарне. Уколико има више од четри тачке, увек се могу изабрати три сталне, и онда од осталих узимати једна по једна и тестирати на копланарност са њима.

Притом ће стање копланарности означавати исказ да тачке A, B, C и D припадају равни α, коју формирају тачке A, B и C:

$A, B, C, D \in \alpha\left (A,B,C\right )$

Линеарна зависност

Ако су четри тачке копланарне, вектори, који се њима могу формирати, морају бити линеарно зависни. Другим речима, ово би значило да верктор $\overrightarrow{AD}$ може да се изрази као линеарна комбинација вектора $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$:

$\overrightarrow{AD} = \alpha\overrightarrow{AB} + \beta\overrightarrow{AC}, \;\; \alpha, \beta \in R$

Ово исто важи и за друге комбинације тј. $\overrightarrow{AB}$ се може изразити као линеарна комбинација $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{AD}$, а $\overrightarrow{AC}$ се може изразити као линеарна комбинација $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AD}$.

Преко запремине дефинисаног паралелопипеда

Четри тачке одређују три вектора, што је довољно да би се њима дефинисао један паралелопипед. Ако би све ове тачке лежале у једној равни, то би значило да је његова висина једнака нули. Даља импликација овое особине би била да је и запремина тог паралелопипеда једнака нули. Из овог произилази да су тачке копланарне уколико је запремина овако одређеног паралелопипеда једнака нули.

У тродимензионом простору можемо користити мешовити производ, који је еквивалент површине:

$\left [ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD} \right] = 0 \Leftrightarrow \left(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} \right) \overrightarrow{AD} = 0 \Leftrightarrow A, B, C, D \in \alpha\left (A,B,C\right )$

Ова зависност се такође може изразити кроз услов вредности детерминанте:

$\begin{vmatrix} A_x & A_y & A_z & 1 \\ B_x & B_y & B_z & 1 \\ C_x & C_y & C_z & 1 \\ D_x & D_y & D_z & 1 \\ \end{vmatrix} = 0 \Leftrightarrow A, B, C, D \in \alpha\left (A,B,C\right )$

Ово се исто може изразити кроз услов за детерминанту вектора које образују ове тачке:

$\begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end{vmatrix} = 0 \Leftrightarrow A, B, C, D \in \alpha\left (A,B,C\right )$

При чему су употребљени вектори:

$\overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB},\;\overrightarrow{b} = \overrightarrow{AC},\;\overrightarrow{c} = \overrightarrow{AD}$

Референце

Овај незавршени чланак Копланарност везан је за математику. Користећи правила Википедије, можете га проширити.