Копланарност

Из Википедије, слободне енциклопедије

Копланарност је појам из области геометрије, и означава особину низа тачака да се налазе у истој равни. Три тачке су увек копланарне а, ако нису колинеарне, такође једнозначно дефинишу и раван у којој се налазе. Додавањем четврте тачке скупу од три неколинеарне тачке се већ долази у ситуацију када она мора да задовољава одређене услове, како би све четри тачке биле копланарне.

Начини утврђивања копланаронсти[уреди]

Ово поглавље разматра начине утврђивања копланарности четри различите и неколинеарне тачке, A, B, C и D. Уколико су најмање две од четри тачке колинеарне, такође су и копланарне. Уколико има више од четри тачке, увек се могу изабрати три сталне, и онда од осталих узимати једна по једна и тестирати на копланарност са њима.

Притом ће стање копланарности означавати исказ да тачке A, B, C и D припадају равни α, коју формирају тачке A, B и C:

A, B, C, D \in \alpha\left (A,B,C\right )

Линеарна зависност[уреди]

Ако су четри тачке копланарне, вектори, који се њима могу формирати, морају бити линеарно зависни. Другим речима, ово би значило да верктор \overrightarrow{AD} може да се изрази као линеарна комбинација вектора \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{AC}:

\overrightarrow{AD} = \alpha\overrightarrow{AB} + \beta\overrightarrow{AC}, \;\; \alpha, \beta \in R

Ово исто важи и за друге комбинације тј. \overrightarrow{AB} се може изразити као линеарна комбинација \overrightarrow{AC} и \overrightarrow{AD}, а \overrightarrow{AC} се може изразити као линеарна комбинација \overrightarrow{AB} и \overrightarrow{AD}.

Преко запремине дефинисаног паралелопипеда[уреди]

Четри тачке одређују три вектора, што је довољно да би се њима дефинисао један паралелопипед. Ако би све ове тачке лежале у једној равни, то би значило да је његова висина једнака нули. Даља импликација овое особине би била да је и запремина тог паралелопипеда једнака нули. Из овог произилази да су тачке копланарне уколико је запремина овако одређеног паралелопипеда једнака нули.

У тродимензионом простору можемо користити мешовити производ, који је еквивалент површине:

\left [ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD} \right] = 0 \Leftrightarrow \left(\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} \right) \overrightarrow{AD} = 0 \Leftrightarrow A, B, C, D \in \alpha\left (A,B,C\right )

Ова зависност се такође може изразити кроз услов вредности детерминанте:

\begin{vmatrix}
A_x & A_y & A_z & 1 \\
B_x & B_y & B_z & 1 \\
C_x & C_y & C_z & 1 \\
D_x & D_y & D_z & 1 \\
\end{vmatrix} = 0 \Leftrightarrow A, B, C, D \in \alpha\left (A,B,C\right )[1]

Ово се исто може изразити кроз услов за детерминанту вектора које образују ове тачке:

\begin{vmatrix}
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z \\
c_x & c_y & c_z \\
\end{vmatrix} = 0 \Leftrightarrow A, B, C, D \in \alpha\left (A,B,C\right )

При чему су употребљени вектори:

\overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB},\;\overrightarrow{b} = \overrightarrow{AC},\;\overrightarrow{c} = \overrightarrow{AD}

Референце[уреди]