Крамерово правило

Из Википедије, слободне енциклопедије

Крамерово правило је теорема у линеарној алгебри, која даје решење система линеарних једначина помоћу детерминанти. Добила је име по Габријелу Крамеру (1704. - 1752.).

Рачунски, ради се о неефикасном поступку, и стога се не користи у пракси у случајевима када је број једначина у систему велики. Међутим, ово правило је од теоријског значаја јер даје експлицитни израз за решење система.

Викикњиге имају више информација о:

Крамерово правило

[уреди] Елементарна формулација

Систем једначина представљен у форми множења матрица као:

$Ax = c\,$

где је квадратна матрица $A$ инвертибилна а вектор $x$ је вектор колоне променљивих: $(x i)$ .

Теорема онда тврди да:

$x_i = { \det(A_i) \over \det(A)}$

$(1)\,$

где је $A i$ матрица која се добија заменом i-те колоне из $A$ вектором колоне $c$ . Ради једноставности, понекад се користи само један симбол као што је $Δ$ да представи $det(A)$ а нотација $Δ i$ се користи да представи $det(A i)$ . Стога се једначина (1) може компактније записати као

$x_i = { \Delta_i \over \Delta }\,$

[уреди] Апстрактна формулација

Нека је R комутативни прстен, а A n×n матрица са коефицијентима из R. Онда

$\mathrm{Adj}(A)A = \mathrm{det}(A)I\,$

где Adj(A) означава адјунговану матрицу матрице A, det(A) је детерминанта, а I је јединична матрица.

[уреди] Пример

Добар начин да се Крамерово правило искористи за матрице димензије 2×2 је помоћу следеће формуле:

$ax + by = {\color{red}e}\,$ и

$cx + dy = {\color{red}f}\,$ ,

што се може записати у матричном облику

$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{red}e} \\ {\color{red}f} \end{bmatrix}$

x и y се могу наћи Крамеровим правилом:

$x = \frac { \begin{vmatrix} \color{red}{e} & b \\ \color{red}{f} & d \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} } = { {\color{red}e}d - b{\color{red}f} \over ad - bc}$

и

$y = \frac { \begin{vmatrix} a & \color{red}{e} \\ c & \color{red}{f} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} } = { a{\color{red}f} - {\color{red}e}c \over ad - bc}$

Правило за матрице димензије 3×3 је слично.

$ax + by + cz = {\color{red}j}\,$ ,

$dx + ey + fz = {\color{red}k}\,$ и

$gx + hy + iz = {\color{red}l}\,$ ,

што се може записати у матричном облику

$\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{red}j} \\ {\color{red}k} \\ {\color{red}l} \end{bmatrix}$

x, y и z се могу наћи на следећи начин:

$x = \frac { \begin{vmatrix} {\color{red}j} & b & c \\ {\color{red}k} & e & f \\ {\color{red}l} & h & i \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} }$ , $y = \frac { \begin{vmatrix} a & {\color{red}j} & c \\ d & {\color{red}k} & f \\ g & {\color{red}l} & i \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} }$ , and $z = \frac { \begin{vmatrix} a & b & {\color{red}j} \\ d & e & {\color{red}k} \\ g & h & {\color{red}l} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} }$

[уреди] Примене у диференцијалној геометрији

Крамерово правило је врло корисно за решавање проблема у диференцијалној геометрији. Узмимо две једначине $F(x, y, u, v) = 0\,$ и $G(x, y, u, v) = 0\,$ . Када су u и v независне променљиве, можемо да дефинишемо $x = X(u, v)\,$ и $y = Y(u, v)\,$ .

Налажење једначине за $\partial x/\partial u$ је тривијално применом Крамеровог правила.

Прво израчунамо прве изводе за F, G, x и y.

$dF = \frac{\partial F}{\partial x} dx + \frac{\partial F}{\partial y} dy +\frac{\partial F}{\partial u} du +\frac{\partial F}{\partial v} dv = 0$

$dG = \frac{\partial G}{\partial x} dx + \frac{\partial G}{\partial y} dy +\frac{\partial G}{\partial u} du +\frac{\partial G}{\partial v} dv = 0$

$dx = \frac{\partial X}{\partial u} du + \frac{\partial X}{\partial v} dv$

$dy = \frac{\partial Y}{\partial u} du + \frac{\partial Y}{\partial v} dv$

Заменом dx, dy у dF и dG, добијамо:

$dF = \left(\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial u} \right) du + \left(\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial v} \right) dv = 0$

$dG = \left(\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial u} \right) du + \left(\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial v} \right) dv = 0$

Како су u, v обе независне, коефицијенти du, dv морају бити једнаки нули. Тако да можемо да напишемо:

$\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} = -\frac{\partial F}{\partial u}$

$\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} = -\frac{\partial G}{\partial u}$

$\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = -\frac{\partial F}{\partial v}$

$\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = -\frac{\partial G}{\partial v}$

Сада, применом Крамеровог правила видимо да:

$\frac{\partial x}{\partial u} = \frac{\begin{vmatrix} -\frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial y} \\ -\frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial y}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\frac{\partial F}{\partial x} & \frac{\partial F}{\partial y} \\ \frac{\partial G}{\partial x} & \frac{\partial G}{\partial y}\end{vmatrix}}$

Ово сада је формула у облику два јакобијана:

$\frac{\partial x}{\partial u} = - \frac{\left(\frac{\partial\left(F, G\right)}{\partial\left(y, u\right)}\right)}{\left(\frac{\partial\left(F, G\right)}{\partial\left(x, y\right)}\right)}$

Сличне формуле се могу извести за $\frac{\partial x}{\partial v}$ , $\frac{\partial y}{\partial u}$ , $\frac{\partial y}{\partial v}$ .

[уреди] Примене у алгебри

Крамерово правило се може користити за доказивање Кејли-Хамилтонове теореме из линеарне алгебре, као и Накајамине леме, која је од основног значаја у теорији комутативних прстенова.

[уреди] Спољашње везе

МИТ предавање из линеарне алгебре о Крамеровом правилу Гугл видео, из MIT OpenCourseWare

Крамерово правило

Из Википедије, слободне енциклопедије

Садржај

[уреди] Елементарна формулација

[уреди] Апстрактна формулација

[уреди] Пример

[уреди] Примене у диференцијалној геометрији

[уреди] Примене у алгебри

[уреди] Спољашње везе

Прегледи

Лични алати

навигација

техничке

Направи књигу

Претрага

алати

Други језици