Крамерово правило

Из Википедије, слободне енциклопедије

Крамерово правило је теорема у линеарној алгебри, која даје решење система линеарних једначина помоћу детерминанти. Добила је име по Габријелу Крамеру (1704—1752).

Рачунски, ради се о неефикасном поступку, и стога се не користи у пракси у случајевима када је број једначина у систему велики. Међутим, ово правило је од теоријског значаја јер даје експлицитни израз за решење система.

Викикњиге
Викикњиге имају више информација о:

Елементарна формулација[уреди]

Систем једначина представљен у форми множења матрица као:

Ax = c\,

где је квадратна матрица A инвертибилна а вектор x је вектор колоне променљивих: (x_i ).

Теорема онда тврди да:

x_i = { \det(A_i) \over \det(A)}
(1)\,

где је A_i матрица која се добија заменом i-те колоне из A вектором колоне c. Ради једноставности, понекад се користи само један симбол као што је \Delta да представи \det(A) а нотација \Delta_i се користи да представи \det(A_i). Стога се једначина (1) може компактније записати као

x_i = { \Delta_i \over \Delta }\,

Апстрактна формулација[уреди]

Нека је R комутативни прстен, а A n×n матрица са коефицијентима из R. Онда

\mathrm{Adj}(A)A = \mathrm{det}(A)I\,

где Adj(A) означава адјунговану матрицу матрице A, det(A) је детерминанта, а I је јединична матрица.

Пример[уреди]

Добар начин да се Крамерово правило искористи за матрице димензије 2×2 је помоћу следеће формуле:

ax + by = {\color{red}e}\, и
cx + dy = {\color{red}f}\,,

што се може записати у матричном облику

\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{red}e} \\ {\color{red}f} \end{bmatrix}

x и y се могу наћи Крамеровим правилом:

x = \frac { \begin{vmatrix} \color{red}{e} & b \\ \color{red}{f} & d \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} } = { {\color{red}e}d - b{\color{red}f} \over ad - bc}

и

y = \frac { \begin{vmatrix} a & \color{red}{e} \\ c & \color{red}{f} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} } = { a{\color{red}f} - {\color{red}e}c \over ad - bc}


Правило за матрице димензије 3×3 је слично.

ax + by + cz = {\color{red}j}\,,
dx + ey + fz = {\color{red}k}\, и
gx + hy + iz = {\color{red}l}\,,

што се може записати у матричном облику

\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{red}j} \\ {\color{red}k} \\ {\color{red}l} \end{bmatrix}

x, y и z се могу наћи на следећи начин:

x = \frac { \begin{vmatrix} {\color{red}j} & b & c \\ {\color{red}k} & e & f \\ {\color{red}l} & h & i \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} },   y = \frac { \begin{vmatrix} a & {\color{red}j} & c \\ d & {\color{red}k} & f \\ g & {\color{red}l} & i \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} },   and   z = \frac { \begin{vmatrix} a & b & {\color{red}j} \\ d & e & {\color{red}k} \\ g & h & {\color{red}l} \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} }

Примене у диференцијалној геометрији[уреди]

Крамерово правило је врло корисно за решавање проблема у диференцијалној геометрији. Узмимо две једначине F(x, y, u, v) = 0\, и G(x, y, u, v) = 0\,. Када су u и v независне променљиве, можемо да дефинишемо x = X(u, v)\, и y = Y(u, v)\,.

Налажење једначине за \partial x/\partial u је тривијално применом Крамеровог правила.

Прво израчунамо прве изводе за F, G, x и y.

dF = \frac{\partial F}{\partial x} dx + \frac{\partial F}{\partial y} dy +\frac{\partial F}{\partial u} du +\frac{\partial F}{\partial v} dv = 0
dG = \frac{\partial G}{\partial x} dx + \frac{\partial G}{\partial y} dy +\frac{\partial G}{\partial u} du +\frac{\partial G}{\partial v} dv = 0
dx = \frac{\partial X}{\partial u} du + \frac{\partial X}{\partial v} dv
dy = \frac{\partial Y}{\partial u} du + \frac{\partial Y}{\partial v} dv

Заменом dx, dy у dF и dG, добијамо:

dF = \left(\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial u} \right) du + \left(\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial v} \right) dv = 0
dG = \left(\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial u} \right) du + \left(\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial v} \right) dv = 0

Како су u, v обе независне, коефицијенти du, dv морају бити једнаки нули. Тако да можемо да напишемо:

\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} = -\frac{\partial F}{\partial u}
\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u} = -\frac{\partial G}{\partial u}
\frac{\partial F}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial F}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = -\frac{\partial F}{\partial v}
\frac{\partial G}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} +\frac{\partial G}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v} = -\frac{\partial G}{\partial v}

Сада, применом Крамеровог правила видимо да:


\frac{\partial x}{\partial u} = \frac{\begin{vmatrix} -\frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial y} \\ -\frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial y}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}\frac{\partial F}{\partial x} & \frac{\partial F}{\partial y} \\ \frac{\partial G}{\partial x} & \frac{\partial G}{\partial y}\end{vmatrix}}

Ово сада је формула у облику два јакобијана:

\frac{\partial x}{\partial u} = - \frac{\left(\frac{\partial\left(F, G\right)}{\partial\left(y, u\right)}\right)}{\left(\frac{\partial\left(F, G\right)}{\partial\left(x, y\right)}\right)}

Сличне формуле се могу извести за \frac{\partial x}{\partial v}, \frac{\partial y}{\partial u}, \frac{\partial y}{\partial v}.

Примене у алгебри[уреди]

Крамерово правило се може користити за доказивање Кејли-Хамилтонове теореме из линеарне алгебре, као и Накајамине леме, која је од основног значаја у теорији комутативних прстенова.

Спољашње везе[уреди]