Криволинијски интеграл

Из Википедије, слободне енциклопедије

Криволинијски интеграл је интеграл за чију се област интеграције узима одређена крива, најчешће дефинисана у равни или простору. За разлику од обичног одређеног интеграла, за чију се област интеграљења узима одређени правоугаони сегмент простора, криволинијски интеграл омогућава израчунавање интеграла у којем домен функције представљају тачке одређене глатке (или део-по-део глатке) криве. У математици се дефинишу криволинијски интеграли прве и друге врсте. У физици криволинијски интеграли другог реда имају примјену у израчунавању рада који чини нека сила по датој кривој.

Криволинијски интеграл прве врсте[уреди]

Криволинијски интеграл прве врсте

Ако са f(x,y,z) означимо функцију чији интеграл рачунамо, а са L означимо дату криву, криволинијски интеграл прве врсте се обиљежава на сљедећи начин:

\int\limits_L f(x,y,z)\,ds.

Уколико један крај криве L означимо са A, а њен други крај са B, криволинијски интеграл прве врсте се обиљежава још и са:

\int\limits_{AB} f(x,y,z)\,ds.

Дефиниција[уреди]

Нека је крива L задата параметарски на интервалу [\alpha, \beta]:

x=\varphi(t), y=\psi(t), z=\chi(t)\,\,\,\,(t\in[\alpha, \beta]).

Нека је на тој кривој, односно на скупу тачака које је сачињавају, дефинисана функција f(x, y, z).

Можемо формирати подјелу интервала [\alpha, \beta] на n дијелова, у сљедећим ознакама:

\alpha=t_1<t_2<\dots<t_{i-1}<t_i<\dots<t_n=\beta.

На сваком сегменту [t_i, t_{i-1}] можемо изабрати по једно \tau_i, од којих свако параметарски одређује по једну тачку M_i(\xi_i, \eta_i, \zeta_i), гдје је \xi_i=\varphi(\tau_i), \eta_i=\psi(\tau_i), \zeta_i=\chi(\tau_i). Са \Delta s_i ћемо означити дужину криве на сегменту [t_i, t_{i-1}]. Тада имамо сљедећу ознаку:

\sigma_1(f, L) = \sum\limits_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i) \Delta s_i

Јасно је да ће за различите подјеле интервала горњи израз имати различите вриједности. Нас занима случај када \Delta s_i тежи нули, тј. када је подјела интервала [\alpha, \beta] „бесконачно густа“. На тај начин уводимо појам криволинијског интеграла прве врсте: ако постоји неки број I, такав да за свако \varepsilon>0 постоји одређено \delta>0 тако да:

max(\Delta s_i)<\delta \Rightarrow |\sigma_1(f, L) - I| < \varepsilon,

тај број I називаћемо криволинијским интегралом прве врсте функције f на кривој L. Записује се као што је дато у уводу текста. Крива интеграције се назива још и луком интеграције.

Особине[уреди]

Криволинијски интеграл прве врсте дијели неке од основних особина са обичним одређеним интегралом.

  1. \int\limits_L(\alpha f(x,y,z)+\beta g(x,y,z))ds = \alpha \int\limits_L f(x,y,z)ds + \beta \int\limits_L g(x,y,z)ds,
  2. Ако је за сваку тачку домена тачно: f(x,y,z) < g(x,y,z), онда важи и: \int\limits_L f(x,y,z)ds < \int\limits_L g(x,y,z)ds,
  3. |\int\limits_L f(x,y,z)ds| \le \int\limits_L |f(x,y,z)|ds,
  4. \int\limits_{AB} f(x,y,z)ds = \int\limits_{AC} f(x,y,z)ds + \int\limits_{CB} f(x,y,z)ds, ако се тачка C налази између тачака A и B.

Супротно криволинијском интегралу друге врсте, код којег постоји појам оријентације, за криволинијски интеграл прве врсте важи сљедеће:

\int\limits_{AB} f(x,y,z)ds = \int\limits_{BA} f(x,y,z)ds.

Рачунање[уреди]

Криволинијски интеграл прве врсте, у складу са ознакама из одјељка „Дефиниција“, израчунава се помоћу сљедеће формуле:[1]

\int\limits_{AB} f(x,y,z) ds = \int\limits_\alpha^\beta f(\varphi(t), \psi(t), \chi(t))\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)+\chi'^2(t)}\,dt

Услови за коришћење ове формуле су да је функција f непрекидна и ограничена на кривој L и да је крива L глатка и без сингуларних тачака. Формула важи и у случајевима када је крива дио-по-дио глатка и функција дио-по-дио непрекидна.[2]

Криволинијски интеграл друге врсте[уреди]

Криволинијски интеграл друге врсте

Дефиниција[уреди]

Нека је крива L задата параметарски на интервалу [\alpha, \beta]:

x=\varphi(t), y=\psi(t), z=\chi(t)\,\,\,\,(t\in[\alpha, \beta]).

Нека су на тој кривој, односно на скупу тачака које је сачињавају, дефинисане функције P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z).

Можемо формирати подјелу интервала [\alpha, \beta] на n дијелова, у сљедећим ознакама:

\alpha=t_1<t_2<\dots<t_{i-1}<t_i<\dots<t_n=\beta.

На сваком сегменту [t_i, t_{i-1}] можемо изабрати по једно \tau_i, од којих свако параметарски одређује по једну тачку M_i(x_i, y_i, z_i), гдје је x_i=\varphi(\tau_i), y_i=\psi(\tau_i), z_i=\chi(\tau_i). Са \Delta x_i ћемо означити разлику x_i-x_{i-1}, и аналогно \Delta y_i и \Delta z_i Тада имамо сљедеће ознаке:

\sigma_2(P, L) = \sum\limits_{i=1}^{n} P(x_i, y_i, z_i) \Delta x_i
\sigma_3(Q, L) = \sum\limits_{i=1}^{n} Q(x_i, y_i, z_i) \Delta y_i
\sigma_4(R, L) = \sum\limits_{i=1}^{n} R(x_i, y_i, z_i) \Delta z_i

У нареднон тексту говорићемо о \sigma_2(P, L), имајући на уму да важе аналогне ознаке и за \sigma_3 и \sigma_4. Јасно је да ће за различите подјеле интервала горњи израз \sigma_2 имати различите вриједности. Нас занима случај када \Delta x_i тежи нули, тј. када је подјела интервала [\alpha, \beta] „бесконачно густа“. На тај начин, ако постоји неки број I, такав да за свако \varepsilon>0 постоји одређено \delta>0 тако да:

max(\Delta x_i)<\delta \Rightarrow |\sigma_2(P, L) - I| < \varepsilon,

тај број I називаћемо криволинијским интегралом друге врсте функције P на кривој L. Записује се на сљедећи начин:

\int\limits_{L} P(x,y,z)\,dx, или само:
\int\limits_{L} Pdx.

Аналогно се дефинишу интеграли \int\limits_{L} Qdy и \int\limits_{L} Rdz. Најчешће се посматрају збирови ових интеграла:

\int\limits_{L} Pdx + \int\limits_{L} Qdy + \int\limits_{L} Rdz,

који се обично обиљежавају као:

\int\limits_{L} Pdx + Qdy + Rdz. (1)

Ако усвојимо ознаку векторске функције \overrightarrow{r}(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)), односно \overrightarrow{r} = (P, Q, R), тада ознаку (1) називамо (општим) криволинијским интегралом другог реда функције \overrightarrow{r}.

У случају да је крива L затворена, тј. да је A=B, говоримо о циркулацији и дефинисани интеграл обиљежавамо са:

\oint\limits_{L} Pdx + Qdy + Rdz,

премда ово није обавезно срести у литератури, јер се понекад сматра сувишним.[3]

Особине[уреди]

За разлику од криволинијског интеграла првог реда, код којег не постоји појам оријентације и код којег важи особина:

\int\limits_{AB} f(x, y, z)ds = \int\limits_{BA} f(x, y, z)ds,

код криволинијског интеграла другог реда важи особина:

\int\limits_{AB} Pdx + Qdy + Rdz = -\int\limits_{BA} Pdx + Qdy + Rdz.

Ова особина настаје као посљедица дефиниције криволинијског интеграла и чињенице да је x_i-x_{i-1} = -(x_{i-1}-x_i). На тај начин, није свеједно да ли интеграције вршимо у једном или другом смјеру криве, а ту особину интеграла другог реда називамо оријентабилношћу, односно оријентацијом криве.

Рачунање[уреди]

Формула за израчунавање вриједности криволинијског интеграла другог реда функције P (аналогно за Q, R, у складу са ознакама у пододјељку „Дефиниција“ овог одјељка) јесте сљедећа:[4]

\int\limits_{AB} P(x, y, z)dx = \int\limits_{\alpha}^{\beta} P(\varphi(t), \psi(t), \chi(t)) \varphi'(t)

Формула важи уколико је функција P(x, y, z) непрекидна на кривој AB, а крива AB глатка и без сингуларних тачака. Она такође важи уколико је поменута крива дио-по-дио глатка, а функција P дио-по-дио непрекидна.[5]

У случају затворене дводимензионалне криве, тј. криве смјештене у равни, и под одређеним условима, криволинијски интеграл друге врсте може се рачунати и користећи Гринову теорему.

Независност интеграције од путање[уреди]

Јасно је да ће у општем случају вриједност криволинијског интеграла другог реда зависити од облика криве интеграције L, тј. њене „путање“. Понекад то, међутим, није тако и вриједност интеграла ће зависити само од почетне и крајње тачке, а бити потпуно независна од међутачака, тј. од облика криве. Наиме, важи сљедећа теорема, која има своје примјене у науци и техници:[6]

Сљедећи искази су еквивалентни:

  • За векторску функцију \overrightarrow{r} = (P, Q, R) постоји функција u, таква да је (u_x', u_y', u_z') = (P, Q, R)
  • Криволинијски интеграл \int\limits_{AB} Pdx + Qdy + Rdz не зависи од путање, него само од тачака A и B. Вриједност интеграла у том случају биће u(B) - u(A)
  • Циркулација \oint\limits_{L} Pdx + Qdy + Rdz по произвољној затвореној путањи је једнака нули.

Види још[уреди]

Референце[уреди]

  1. ^ Аднађевић и Каделбург 1998, стр. 185.
  2. ^ Аднађевић и Каделбург 1998, стр. 186.
  3. ^ Школа математике Универзитета у Минесоти: Векторска анализа и функције више промјенљивих, Приступљено 9. 4. 2013.
  4. ^ Аднађевић и Каделбург 1994, стр. 189.
  5. ^ Аднађевић и Каделбург 1994, стр. 190.
  6. ^ Аднађевић и Каделбург 1994, стр. 193.

Литература[уреди]

  • Аднађевић, Душан; Каделбург, Зоран (1994). Математичка анализа II, друго издање. Наука, Београд. 

Спољашње везе[уреди]