Кристофелови симболи

Из Википедије, слободне енциклопедије
Паралелни транспорт на сфери

Кристофелови симболи у диференцијалној геометрији представљају коефицијенте који описују паралелни транспорт у криволинијским координатним системима. Добили су име по немачком математичару Елвину Бруну Кристофелу. Кристофелови симболи прве врсте означавају се са [\mu \nu,\kappa] = \Gamma_{\mu \nu \kappa}, а симболи друге врсте са \begin{Bmatrix} \sigma \\ \mu \nu \end{Bmatrix} = \Gamma^\sigma_{\; \mu \nu}. У целом тексту користи се Ајнштајнова конвенција да се сумира по индексима који се појављаују више пута.


Паралелни транспорт[уреди]

Слика 1.

Када у криволинијском систему одузимамо два вектора поред уобичајене разлике два вектора у правоугаоном систему имамо и додатну разлику због паралелнога транспорта једнога вектора до другога. Нека у x^i вектор има вредност A^i, а у некој тачки x^i+dx^i вредност A^i+dA^i. Ако вектор A^i транспортујемо до x^i+dx^i он се због паралелнога транспорта у криволинијским координатама промени за \delta A^i. Укупна разлика два вектора постаје онда:

DA^i=dA^i-\delta A^i

Паралелни транспорт зависан је од Кристофелових симбола:

\delta A^i=-\Gamma^i{}_{k\ell} A^k dx^l.

Ту се користи Ајнштајнова конвенција да се сумира по индексима који се појављаују више пута.

Слика 2.

Пример у поларном систему[уреди]

Узмимо поларни координатни систем у коме се тачка налази на удаљености {r} и под углом \varphi. Нека вектор \boldsymbol A има координате (a,\,\alpha), односно налази се на удаљеност a од центра и из центра се види под углом \alpha. Препоставимо да се велтор премешта из једне у другу тачку. Његове компоненте се не мјењају у правоугаоном координатном систему. У поларном систему вектора \boldsymbol A остаје исте величине јер величина вектора на једном месту је:

|A|^2= a^2 + r^2\alpha^2

а на другом је:

a^2 + (r+{\rm d}r)^2(\alpha+{\rm d}\alpha)^2 =a^2 + r^2\alpha^2,

па се добија:

{\rm d}\alpha=-\frac{1}{r}\,\alpha\,{\rm d}r.

Паралелан транспорт дуж лука[уреди]

Током транслације дуж лука мењају се обе координате, па са слике 2 видимо да је: \alpha = \frac{A}{r}\sin\lambda, a=A\cos\lambda, и {\rm d}\lambda = -{\rm d}\varphi па је:

{\rm d}\alpha=-\frac{1}{r}\,a\,{\rm d}\varphi.

Осим тога пошто је a=A\cos\lambda, {\rm d}\lambda = -{\rm d}\varphi, и A\sin\lambda=r\alpha, онда је

{\rm d}a=-(-r)\,\alpha\,{\rm d}\varphi.

Означимо ли:x^1=r, x^2=\varphi, {A^1=a} и A^2=\alpha онда се из формуле, у којој је конвенција да се сумира по индексима који се појављаују два или више пута

\delta A^i=-\Gamma^i{}_{k\ell} A^k dx^l.

могу добити Кристофелови симболи као: {\Gamma^1_{22}=-r}, \Gamma^2_{12}=\Gamma^2_{21}=1/r, а сви остали су нула.

Кристофелови симболи прве и друге врсте[уреди]

Кристофелови симболи прве и друге врсте повезани су следећом релацијом:

\Gamma_{cab} = g_{cd} \Gamma^{d}{}_{ab}\,,

Кристофелови симболи повезани су са метричким тензором. Ако знамо метрички тензор за неки криволинијски систем тада се Кристофелови симболи друге врсте могу потпуно представити преко одговарајућега матричкога тензора:

\Gamma^i {}_{k\ell}=
\frac{1}{2}g^{im} 
\left(
\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^\ell} + \frac{\partial g_{m\ell}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{k\ell}}{\partial x^m} 
\right) 
= 
{1 \over 2} g^{im} (g_{mk,\ell} + g_{m\ell,k} - g_{k\ell,m}), \

а ту је g^{ij}\ контраваријантни приказ метричкога тензора, а g_{ij}\ представља коваријантан приказ метричкога тензора, а повезани су изразом g^{ij}g_{jk}=\delta^i_k\ . Кристофелови симболи прве врсте даду се приказати као: \Gamma^{}_{n,ij}

\Gamma_{n,ij}=g_{kn}\Gamma^{k}_{ij}=\tfrac12\left(\frac{\partial g_{in}}{\partial x^j} + \frac{\partial g_{jn}}{\partial x^i} - \frac{\partial g_{ij}}{\partial x^n}\right)

Кристофелови симболи су симетрични по доњим индексима;

\Gamma^i {}_{jk}=\Gamma^i {}_{kj}.

С друге стране коваријантан извод метричкога тензора може се приказати преко Кристофелових симбола:

\nabla_\ell g_{ik}=\frac{\partial g_{ik}}{\partial x^\ell}- g_{mk}\Gamma^m {}_{i\ell} - g_{im}\Gamma^m {}_{k\ell}=0.\

У неким системима[уреди]

За сферни координатни систем компоненте метричкога тензора су g_{\theta\theta} = r^2, g_{\phi\phi} = r^2 \sin^2 \theta, g_{\theta\theta,r} = 2 r, g_{\phi\phi,r} = 2 r \sin^2\theta, g_{\phi\phi,\theta} = 2 r^2 \cos\theta \sin\theta. па су Кристофелови симболи дани са:

\begin{align}
\Gamma^{r}_{\theta\theta} & = -r\\
\Gamma^{r}_{\phi\phi} & = -r \sin^2\theta\\
\Gamma^{\theta}_{r\theta} = \Gamma^{\theta}_{\theta r} &= r^{-1}\\
\Gamma^{\theta}_{\phi\phi} &= -\cos\theta \sin\theta\\
\Gamma^{\phi}_{r\phi} = \Gamma^{\phi}_{\phi r} &= r^{-1}\\
\Gamma^{\phi}_{\phi\theta} = \Gamma^{\phi}_{\theta\phi} &= \cot\theta
\end{align}

За цилиндрични координатни систем симболи су:

\begin{align}
\Gamma^{r}_{\phi\phi} & =  -r\\
\Gamma^{\phi}_{r\phi} = \Gamma^{\phi}_{\phi r} &= \frac{1}{r}
\end{align}

Коваријантан извод[уреди]

Преко Кристофелових симбола приказује се коваријантан извод тензора: Коваријантни извод тензорскога поља A^{ik}\ је

\nabla_\ell A^{ik}=\frac{\partial A^{ik}}{\partial x^\ell} + \Gamma^i{}_{m\ell} A^{mk} + \Gamma^k{}_{m\ell} A^{im}, \

тј.

 A^{ik} {}_{;\ell} = A^{ik} {}_{,\ell} + A^{mk} \Gamma^i{}_{m\ell} + A^{im} \Gamma^k{}_{m\ell}. \

За мешано тензорско поље имамо:

 A^i {}_{k;\ell} = A^i {}_{k,\ell} + A^{m} {}_k \Gamma^i{}_{m\ell} - A^i {}_m \Gamma^m{}_{k\ell}, \

а за тензорско поље поље типа (0,2) коваријантан извод је:

 A_{ik;\ell} = A_{ik,\ell} - A_{mk} \Gamma^m{}_{i\ell} - A_{im} \Gamma^m{}_{k\ell}. \

Коваријантни извод за неки тензор типа (n, m) је:


\nabla_{k} v^{i_1 \cdots i_n}_{j_1 \cdots j_m} = \frac{\partial}{\partial x^k} v^{i_1 \cdots i_n}_{j_1 \cdots j_m} +
\sum_{\alpha = 1}^{n} \Gamma^{i_\alpha}_{k \ell} \ v^{i_1 \cdots i_{\alpha - 1} \ \ell \ i_{\alpha + 1} \cdots i_n}_{j_1 \cdots j_m} -
\sum_{\alpha = 1}^{m} \Gamma^{\ell}_{k i_\alpha} \ v^{i_1 \cdots i_n}_{j_1 \cdots j_{\alpha - 1} \ \ell \ j_{\alpha + 1} \cdots j_m}

Контракција[уреди]

Користи се Ајнштајнова конвенција да се сумира по индексима који се појављаују више пута. Контракцијом Кристофелових симбола односно сумацијом по индексу, који се понавља добија се:

\Gamma^i{}_{ki}=\frac{1}{2} g^{im}\frac{\partial g_{im}}{\partial x^k}=\frac{1}{2g} \frac{\partial g}{\partial x^k} = \frac{\partial \log \sqrt{|g|}}{\partial x^k} \

и

g^{k\ell}\Gamma^i{}_{k\ell}=\frac{-1}{\sqrt{|g|}} \;\frac{\partial\left(\sqrt{|g|}\,g^{ik}\right)} {\partial x^k}

Ту је |g| детерминанта од g_{ij}\ , односно коваријантнога приказа метричкога тензора. С друге стране g^{ij}\ означава контраваријантни приказ метричкога тензора, а два приказа тензора повезана су изразом g^{ij}g_{jk}=\delta^i_k\ .

Трансформација[уреди]

При трансформацији једнога система (x^1,...,x^n)\ у други (y^1,...,y^n)\ , вектори базе се коваријантно трансформишу:

\frac{\partial}{\partial y^i} = \frac{\partial x^k}{\partial y^i}\frac{\partial}{\partial x^k}\

па се добија формула трансформације Кристофелових симбола:

\overline{\Gamma^k {}_{ij}} =
\frac{\partial x^p}{\partial y^i}\,
\frac{\partial x^q}{\partial y^j}\,
\Gamma^r {}_{pq}\,
\frac{\partial y^k}{\partial x^r}
+ 
\frac{\partial y^k}{\partial x^m}\, 
\frac{\partial^2 x^m}{\partial y^i \partial y^j}  
\

Литература[уреди]