Кронекер делта функција

Из Википедије, слободне енциклопедије

У математици, Кронекер делта или Кронекерова делта, названа по Леополду Кронекеру (1823-1891), је функција две променљиве, обично два цела броја, која узима вредност 1 уколико су бројеви исти, а 0 у супротном. Тако, на пример, \delta_{12} = 0, а \delta_{33} = 1. Означава се као симбол δij, и више се користи као нотацијска скраћеница, него као функција.

\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix} 
1, &  i=j  \\ 
0, &  i \ne j \end{matrix}\right.

Често се користи и нотација \delta_i.

\delta_{i} = \left\{\begin{matrix} 
1, &  i=0  \\ 
0, &  i \ne 0 \end{matrix}\right.


Својства Кронекер делта функције[уреди]

Кронекер делта функција поседује својство тзв. просејавања за j\in\mathbb Z, такво да је:

\sum_{i=-\infty}^\infty \delta_{ij} a_i=a_j.

Ово својство је слично једном од главних својстава Диракове делта функције:

\int_{-\infty}^\infty \delta(x-y)f(x) dx=f(y),

а, заправо, Диракова делта функција је и названа по Кронекер делта функцији због овог својства.

Кронекер делта функција се користи у многим областима математике. На пример, у линераној алгебри, јединична матрица се може писати као \delta_{ij}\,, док ако се посматра као тензор, Кронекер тензор, може се обележити као \delta^j_i са контраваријантним индексом j.


Проширења Кронекер делта функције[уреди]

На исти начин, можемо дефинисати аналогну, вишедимензионалну функцију више променљивих

\delta^{j_1 j_2 ... j_n}_{i_1 i_2 ...i_n}:= \prod_{k=1}^n \delta_{i_k j_k}.

Ова функција узима вредност 1 ако и само ако сви горњи индекси имају исту вредност као одговарајући доњи, а 0 у супротном.