Кумерова функција

Кумерова функција или конфлуентна хипергеометријска функција $M(a,b,z)$ представља решење Кумерове диференцијалне једначине:

$z\frac{d^2w}{dz^2} + (b-z)\frac{dw}{dz} - aw = 0.$

Функција је добила име по немачком математичару Ернсту Кумеру, који је 1837. први увео ту функцију.

Дефиниција

Кумерова функција је решење Кумерове диференцијалне једначине и облика је:

$M(a,b,z)=\sum_{n=0}^\infty \frac {a^{(n)} z^n} {b^{(n)} n!}={}_1F_1(a;b;z)$

где је

$a^{(n)}=a(a+1)(a+2)\cdots(a+n-1)\,$

Друго решење Кумерове диференцијалне једначине је Трикомијева функција $U(a,b,z)$, која је представљена преко Кумерове функције:

$U(a,b,z)=\frac{\Gamma(1-b)}{\Gamma(a-b+1)}M(a,b,z)+\frac{\Gamma(b-1)}{\Gamma(a)}z^{1-b}M(a-b+1,2-b,z).$

Специјални случајеви

Витакерове функције $M_{\kappa,\mu}\left(z\right)$ и $W_{\kappa,\mu}\left(z\right)$ представљају решења Витакерове диференцијалне једначине и могу се приказати преко Кумерових функција:

$M_{\kappa,\mu}\left(z\right) = \exp\left(-z/2\right)z^{\mu+\tfrac{1}{2}}M\left(\mu-\kappa+\frac{1}{2}, 1+2\mu; z\right)$

$W_{\kappa,\mu}\left(z\right) = \exp\left(-z/2\right)z^{\mu+\tfrac{1}{2}}U\left(\mu-\kappa+\frac{1}{2}, 1+2\mu; z\right)$

У случају $b= 2 a$ Кумерова функција се своди на Беселову функцију:

$\begin{align}\, _1F_1(a,2a,x)&= e^{\frac x 2}\, _0F_1 (; a+\tfrac{1}{2}; \tfrac{1}{16}x^2) \\ &= e^{\frac x 2} \left(\tfrac{1}{4}x\right)^{\tfrac{1}{2}-a} \Gamma\left(a+\tfrac{1}{2}\right) I_{a-\frac 1 2}\left(\tfrac{1}{2}x\right).\end{align}$ и

$U(a,2a,x)= \frac{e^\frac x 2}{\sqrt \pi} x^{\frac 1 2 -a} K_{a-\frac 1 2} \left(\frac x 2 \right),$

Својства

Кумерова функција може да се представи преко Лагерових полинома:

$M\left(a,b,\frac{x y}{x-1}\right) = (1-x)^a \cdot \sum_n\frac{a^{(n)}}{b^{(n)}}L_n^{(b-1)}(y)x^n$

Трикомијева функција задовољава релацију:

$\begin{align}U(a,b,z)&= e^{(1-t)z} \sum_{i=0} \frac{(t-1)^i z^i}{i!} U(a,b+i,z t)=\\ &= e^{(1-t)z} t^{b-1} \sum_{i=0} \frac{\left(1-\frac 1 t\right)^i}{i!} U(a-i,b-i,z t).\end{align}$

Кумерове функције повезане су Кумеровим трансформацијама:

$M(a,b,z) = e^z\,M(b-a,b,-z)$

$U(a,b,z)=z^{1-b} U\left(1+a-b,2-b,z\right)$.

Кумерова функција повезана је релацијом:

$\begin{align} z\frac{dM}{dz} = z\frac{a}{b}M(a+,b+) &=a(M(a+)-M)\\ &=(b-1)(M(b-)-M)\\ &=(b-a)M(a-)+(a-b+z)M\\ &=z(a-b)M(b+)/b +zM\\ \end{align}$

Трикомијева функција се асимптотски понаша као општа хипергеометријска функција:

$U(a,b,x)\sim x^{-a} \, _2F_0\left(a,a-b+1;\, ;-\frac 1 x\right),$

Интегрална репрезентација

За Re b > Re a > 0, Кумерова функција M може представити помоћу интеграла:

$M(a,b,z)= \frac{\Gamma(b)}{\Gamma(a)\Gamma(b-a)}\int_0^1 e^{zu}u^{a-1}(1-u)^{b-a-1}\,du\,\quad .$

тако да M представља карактеристичну функцију бета расподеле. За :$\operatorname{re}\ a>0)$

$U(a,b,z) = \frac{1}{\Gamma(a)}\int_0^\infty e^{-zt}t^{a-1}(1+t)^{b-a-1}\,dt$

Могу да се представе и Барнсовим интегралима:

$M(a,b,z) = \frac{1}{2\pi i}\frac{\Gamma(b)}{\Gamma(a)}\int_{-i\infty}^{i\infty} \frac{\Gamma(-s)\Gamma(a+s)}{\Gamma(b+s)}(-z)^sds$

Литература

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, ISBN 978-0486612720
• Конфлуентна хипергеометријска функција