Кумерова функција

Из Википедије, слободне енциклопедије

Кумерова функција или конфлуентна хипергеометријска функција M(a,b,z) представља решење Кумерове диференцијалне једначине:

z\frac{d^2w}{dz^2} + (b-z)\frac{dw}{dz} - aw = 0.

Функција је добила име по немачком математичару Ернсту Кумеру, који је 1837. први увео ту функцију.

Дефиниција[уреди]

Кумерова функција је решење Кумерове диференцијалне једначине и облика је:

M(a,b,z)=\sum_{n=0}^\infty \frac {a^{(n)} z^n} {b^{(n)} n!}={}_1F_1(a;b;z)

где је

a^{(n)}=a(a+1)(a+2)\cdots(a+n-1)\,

Друго решење Кумерове диференцијалне једначине је Трикомијева функција 
U(a,b,z), која је представљена преко Кумерове функције:


U(a,b,z)=\frac{\Gamma(1-b)}{\Gamma(a-b+1)}M(a,b,z)+\frac{\Gamma(b-1)}{\Gamma(a)}z^{1-b}M(a-b+1,2-b,z).

Специјални случајеви[уреди]

Витакерове функције M_{\kappa,\mu}\left(z\right) и W_{\kappa,\mu}\left(z\right) представљају решења Витакерове диференцијалне једначине и могу се приказати преко Кумерових функција:

M_{\kappa,\mu}\left(z\right) = \exp\left(-z/2\right)z^{\mu+\tfrac{1}{2}}M\left(\mu-\kappa+\frac{1}{2}, 1+2\mu; z\right)
W_{\kappa,\mu}\left(z\right) = \exp\left(-z/2\right)z^{\mu+\tfrac{1}{2}}U\left(\mu-\kappa+\frac{1}{2}, 1+2\mu; z\right)

У случају b= 2 a Кумерова функција се своди на Беселову функцију:

\begin{align}\, _1F_1(a,2a,x)&= e^{\frac x 2}\, _0F_1 (; a+\tfrac{1}{2}; \tfrac{1}{16}x^2) \\
&= e^{\frac x 2} \left(\tfrac{1}{4}x\right)^{\tfrac{1}{2}-a} \Gamma\left(a+\tfrac{1}{2}\right) I_{a-\frac 1 2}\left(\tfrac{1}{2}x\right).\end{align} и
U(a,2a,x)= \frac{e^\frac x 2}{\sqrt \pi} x^{\frac 1 2 -a} K_{a-\frac 1 2} \left(\frac x 2 \right),

Својства[уреди]

Кумерова функција може да се представи преко Лагерових полинома:

M\left(a,b,\frac{x y}{x-1}\right) = (1-x)^a \cdot \sum_n\frac{a^{(n)}}{b^{(n)}}L_n^{(b-1)}(y)x^n

Трикомијева функција задовољава релацију:

\begin{align}U(a,b,z)&= e^{(1-t)z} \sum_{i=0} \frac{(t-1)^i z^i}{i!} U(a,b+i,z t)=\\
                            &= e^{(1-t)z} t^{b-1} \sum_{i=0} \frac{\left(1-\frac 1 t\right)^i}{i!} U(a-i,b-i,z t).\end{align}

Кумерове функције повезане су Кумеровим трансформацијама:

M(a,b,z) = e^z\,M(b-a,b,-z)
U(a,b,z)=z^{1-b} U\left(1+a-b,2-b,z\right).

Кумерова функција повезана је релацијом:

\begin{align}
z\frac{dM}{dz} = z\frac{a}{b}M(a+,b+)
&=a(M(a+)-M)\\
&=(b-1)(M(b-)-M)\\
&=(b-a)M(a-)+(a-b+z)M\\
&=z(a-b)M(b+)/b +zM\\
\end{align}

Трикомијева функција се асимптотски понаша као општа хипергеометријска функција:

U(a,b,x)\sim x^{-a} \, _2F_0\left(a,a-b+1;\, ;-\frac 1 x\right),

Интегрална репрезентација[уреди]

За Re b > Re a > 0, Кумерова функција M може представити помоћу интеграла:

M(a,b,z)= \frac{\Gamma(b)}{\Gamma(a)\Gamma(b-a)}\int_0^1 e^{zu}u^{a-1}(1-u)^{b-a-1}\,du\,\quad .

тако да M представља карактеристичну функцију бета расподеле. За :\operatorname{re}\ a>0)

U(a,b,z) = \frac{1}{\Gamma(a)}\int_0^\infty e^{-zt}t^{a-1}(1+t)^{b-a-1}\,dt

Могу да се представе и Барнсовим интегралима:

M(a,b,z) = \frac{1}{2\pi i}\frac{\Gamma(b)}{\Gamma(a)}\int_{-i\infty}^{i\infty} \frac{\Gamma(-s)\Gamma(a+s)}{\Gamma(b+s)}(-z)^sds

Литература[уреди]