Лагранжова теорема

Уколико сте тражили теорему из теорије група, погледајте чланак Лагранжова теорема (теорија група).

Геометријска интерпретација Лагранжове теореме

Лагранжова теорема (енгл. mean value theorem) је једна од основних теорема диференцијалног рачуна и уопште математичке анализе. Често се још назива и теорема о средњој вредности диференцијалног рачуна.

Формулација

Ако је функција f:

• непрекидна на затвореном интервалу $\,[a, b]$, и
• диференцијабилна на отвореном интервалу $\,(a, b)$,

онда постоји тачка $\,c$ из интервала $\,(a, b)$, таква да је:

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)$

Доказ 1

Посматрајмо функцију

$h(x)=f(x) + \lambda x$.

И она је непрекидна на $\,[a, b]$ и диференцијабилна на $\,(a, b)$. Одредимо $\lambda$ за које функција $\,h(x)$ задовољава услове Ролове теореме.

Дакле, да би било $\,h(a) = h(b)$, мора бити:

$\lambda=- \frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$

Тада, по условима Ролове теореме, постоји тачка $\,c$ из интервала $\,(a, b)$, таква да је:

$0=h'(c)=f'(c)-\lambda,$ те је

$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$

Доказ 2

Посматрајмо функцију

$h(x)=f(x)-f(a)-(\frac{f(b)-f(a)}{b-a})(x-a)$

Како је функција $f$ непрекидна и диференцијаблна на интервалу $[a, b]$, односно $(a, b)$, и функција $h$ је непрекидна и диференцијабилна на истим интервалима. Шта више, $h(a) = h(b) = 0$, што значи да на функцију $h$ можемо применити Ролову теорему.

Први извод функције $h$ је:

$h'(x)=f'(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Према Роловој теореми сада следи да постоји тачка $c$, таква да је $f'(c)=0$, тј.

$0=h'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$,

односно:

$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$,

што је и требало да се покаже.

Геометријска интерпретација

Геометријска интерпретација: За било коју функцију непрекидну на [a, b] и диференцијабилну на (a, b), постоји тачка c из интервала (a, b) у којој је тангента (tangent) паралелна са сечицом (secant) која повезује крајеве интервала [a, b].

Геометријски значај ове теореме се састоји у томе да под датим условима постоји тангента криве $\,y=f(x)$ у некој тачки $\,c$, која припада затвореном интервалу $\,(a, b)$, паралелна са сечицом која пролази кроз тачке $\,A=(a,f(a))$ и $\,B=(b,f(b)).$

Механичка интерпретација

Ако се тачка креће по закону $\,x = x(t)$, где је $x(t)$ непрекидна на $[a, b]$ и диференцијаблна на $(a, b)$, онда постоји тренутак $\,t_0$ у ком је тренутна брзина $x'(t_0)$ једнака средњој брзини на интервалу $[a, b]$, која износи $\,\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, управо јер постоји то $\,t_0$ када је: $\, f'(t_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$

Последице и напомене

• Као ни Ролова теорема, ни Лагранжова теорема нам не даје информацију о конструкцији тачке $\,c$, као ни о броју таквих тачака.
• Такође, последица Лагранжове теореме је и следеће: Ако је за свако $\,x$ из затвореног интервала $\,[a, b]$, $\,f'(x)=0$, онда је функција $\,f$ константна на затвореном интервалу $\,[a, b]$.
• Лагранжова теорема се може посматрати као уопштење Ролове теореме. Наиме, за $\,f(a)=f(b)$, добијамо функцију која испуњава све услове Ролове теореме.
• Два важна уопштења Лагранжове формуле, тј. теореме, су Кошијева теорема и Тејлорова теорема.

Види још

• Кошијева теорема
• Тејлорова теорема
• Ролова теорема
• Теореме средње вредности
• Интервал
• Математичка анализа