Лапласова трансформација

Лапласова трансформација (названа по Пјер-Симон Лапласу) је интегрална трансформација, која дату каузалну функцију f(t) (оригинал) пресликава из временског домена (t = време) у функцију F(s) у комплексном спектралном домену. Лапласова трансформација, иако је добила име у његову част, јер је ову трансформацију користио у свом раду о теорији вероватноће, трансформацију је заправо открио Леонард Ојлер, швајцарски математичар из осамнаестог века.

Појам оригинала

Функција t->f(t) назива се оригиналом ако испуњава следеће услове:

1. f је интеграбилна на сваком коначном интервалу t осе

2. за свако t<0, f(t)=0

3. постоје M и s₀, тако да је $|f(t)| \le M e^{s_0t}$

Дефиниција Лапласове трансформације

$F(s) = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\} =\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt. \qquad (s = \sigma + \mathrm{i} \omega; \quad \sigma > 0;\quad t \ge 0 )$

Функција F(s) је »слика« или лапласова трансформација »оригинала« f(t).

За случај да је $s = i\omega$ добија се једнострана Фуријеова трансформација:

$F(\omega) = \mathcal{F}\left\{f(t)\right\}$

$= \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}|_{s = i \omega} = F(s)|_{s = i \omega}$

$= \int_{0}^{\infty} e^{-\imath \omega t} f(t)\,\mathrm{d}t.$

Особине

Линеарност

$\mathcal{L} \{ \sum_{k=1}^{n} \alpha_k f_k(t) \} = \sum_{k=1}^{n} \alpha_k F_k(s)$

Теорема сличности

Ако је $a>0$, тада је $\mathcal{L} \{ f(at) \} = { 1 \over a } F({ s \over a })$, при чему је $\mathcal{L} \{ f(t) \} = F(s)$

Диференцирање оригинала

Ако је $a>0$ и $\mathcal{L} \{ f(t) \} = F(s)$, тада је $\mathcal{L} \{ f^\prime(t) \} = s F(s) - f(0)$

Диференцирање слике

Ако је $\mathcal{L} \{ f(t) \} = F(s)$, тада је $\mathcal{L} \{ t f(t) \} = - F^\prime(s)$, односно индукцијом се потврђује да важи $\mathcal{L} \{ t^n f(t) \} = (-1)^n F^{(n)}(s)$

Интеграција оригинала

Ако је $a>0$ и $\mathcal{L} \{ f(t) \} = F(s)$, тада је $\mathcal{L} \{ \int_0^t t(\tau)d\tau \} = { 1 \over s } F(s)$

Интеграција слике

Ако постоји интеграл $\int_0^{\infty} F(s)ds$, тада је $\mathcal{L} \{ {f(t) \over t} \} = \int_s^{\infty} F(\sigma)d\sigma$

Теорема померања

$\mathcal{L} \{ {e^{s_0t} f(t)} \} = F(s-s_0)$

Теорема кашњења

$\mathcal{L} \{ {f(t - \tau )} \} = -e^{ -s \tau } F(s), \tau \ge 0$

Лапласова трансформација конволуције функција

$\mathcal{L}\{f * g\} = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \}$

Ова особина је позната као Борелова теорема. Напомена: дефиниција конволуције је: $(f\ast g) (x) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x-t) \cdot g(t) \cdot dt = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \cdot g(x-t) \cdot dt$

Лапласова трансформација периодичних функција

Ако $f(t)$ има особину $f(t+T)=f(t)$, тада важи $\mathcal{L} \{ f(t) \} = \int_0^T { e^{-su} \over {1-e^{-sT}} } f(u) du$

Доказ

$\mathcal\,\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt=\int_{0}^{T}e^{-st}f(t)dt{\mid}_{t=u}+\int_{T}^{2T}e^{-st}f(t)dt{\mid}_{t=u+T}\int_{2T}^{3T}e^{-st}f(t)dt{\mid}_{t=u+2T}+...\,$

$\mathcal\,\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt=\int_{0}^{T}e^{-st}f(u)du+\int_{T}^{2T}e^{-s(u+T)}f(u+T)du+\int_{2T}^{3T}e^{-s(u+2T)}f(u+2T)du+...\,$

$\mathcal\,\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt=\int_{0}^{T}e^{-su}f(u)du+e^{-sT}\int_{0}^{T}e^{-su}f(u)du+e^{-2sT}\int_{0}^{T}e^{-su}f(u)dT+...\,$

$\mathcal\,\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)dt=(1+e^{-sT}+e^{-2sT}+...)\int_{0}^{T}e^{-sT}f(T)du{\mid}_{u=t} \,$

Одакле следи: $\mathcal{L}\{ f \}={1 \over 1 - e^{-Ts}} \int_0^T e^{-st} f(t)\,dt$

Табела најчешће коришћених Лапласових трансформација

Једнострана Лапласова трансформација има смисла само за не-негативне вредности t, стога су све временске функције у табели поможене са Хевисајдовом функцијом.

ID	Функција	Временски домен $x(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ X(s) \right\}$	Лапласов s-домен (фреквентни домен) $X(s) = \mathcal{L}\left\{ x(t) \right\}$	Област конвергенције за каузалне системе
1	идеално кашњење	$\delta(t-\tau) \$	$e^{-\tau s} \$
1a	јединични импулс	$\delta(t) \$	$1$	$\mathrm{all} \ s \,$
2	закашњени n-ти степен са фреквенцијским померањем	$\frac{(t-\tau)^n}{n!} e^{-\alpha (t-\tau)} \cdot u(t-\tau)$	$\frac{e^{-\tau s}}{(s+\alpha)^{n+1}}$	$\textrm{Re} \{ s \} > 0 \,$
2a	n-ти степен (за цео број n)	${ t^n \over n! } \cdot u(t)$	${ 1 \over s^{n+1} }$	$\textrm{Re} \{ s \} > 0 \,$
2a.1	q-ти степен (за реално q)	${ t^q \over \Gamma(q+1) } \cdot u(t)$	${ 1 \over s^{q+1} }$	$\textrm{Re} \{ s \} > 0 \,$
2a.2	Хевисајдова функција	$u(t) \$	${ 1 \over s }$	$\textrm{Re} \{ s \} > 0 \,$
2b	закашњена Хевисајдова функција	$u(t-\tau) \$	${ e^{-\tau s} \over s }$	$\textrm{Re} \{ s \} > 0 \,$
2c	рампа функција	$t \cdot u(t)\$	$\frac{1}{s^2}$	$\textrm{Re} \{ s \} > 0 \,$
2d	фреквенцијско померање n-тог реда	$\frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t)$	$\frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}}$	$\textrm{Re} \{ s \} > - \alpha \,$
2d.1	експоненцијално опадање	$e^{-\alpha t} \cdot u(t) \$	${ 1 \over s+\alpha }$	$\textrm{Re} \{ s \} > - \alpha \$
3	експоненцијално приближавање	$(1-e^{-\alpha t}) \cdot u(t) \$	$\frac{\alpha}{s(s+\alpha)}$	$\textrm{Re} \{ s \} > 0\$
4	синус	$\sin(\omega t) \cdot u(t) \$	${ \omega \over s^2 + \omega^2 }$	$\textrm{Re} \{ s \} > 0 \$
5	косинус	$\cos(\omega t) \cdot u(t) \$	${ s \over s^2 + \omega^2 }$	$\textrm{Re} \{ s \} > 0 \$
6	синус хиперболикус	$\sinh(\alpha t) \cdot u(t) \$	${ \alpha \over s^2 - \alpha^2 }$	$\textrm{Re} \{ s \} > | \alpha | \$
7	косинус хиперболикус	$\cosh(\alpha t) \cdot u(t) \$	${ s \over s^2 - \alpha^2 }$	$\textrm{Re} \{ s \} > | \alpha | \$
8	експоненцијално опадајући синус	$e^{\alpha t} \sin(\omega t) \cdot u(t) \$	${ \omega \over (s-\alpha )^2 + \omega^2 }$	$\textrm{Re} \{ s \} > \alpha \$
9	експоненцијално опадајући косинус	$e^{\alpha t} \cos(\omega t) \cdot u(t) \$	${ s-\alpha \over (s-\alpha )^2 + \omega^2 }$	$\textrm{Re} \{ s \} > \alpha \$
10	n-ти корен	$\sqrt[n]{t} \cdot u(t)$	$s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)$	$\textrm{Re} \{ s \} > 0 \,$
11	природни логаритам	$\ln \left ({ t \over t_0 } \right) \cdot u(t)$	$- { t_0 \over s} \ [ \ \ln(t_0 s)+\gamma \ ]$	$\textrm{Re} \{ s \} > 0 \,$
12	Беселова функција прве врсте, реда n	$J_n(\omega t) \cdot u(t)$	$\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}}$	$\textrm{Re} \{ s \} > 0 \,$ $(n > -1) \,$
13	модификована Беселова функција прве врсте, реда n	$I_n(\omega t) \cdot u(t)$	$\frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}}$	$\textrm{Re} \{ s \} > | \omega | \,$
14	Беселова функција друге врсте, нултог реда	$Y_0(\alpha t) \cdot u(t)$	$-{2 \sinh^{-1}(s/\alpha) \over \pi \sqrt{s^2+\alpha^2}}$	$\textrm{Re} \{ s \} > 0 \,$
15	модификована Беселова функција друге врсте, нултог реда	$K_0(\alpha t) \cdot u(t)$
16	функција грешке	$\mathrm{erf}(t) \cdot u(t)$	${e^{s^2/4} \left(1 - \operatorname{erf} \left(s/2\right)\right) \over s}$	$\textrm{Re} \{ s \} > 0 \,$
Објашњења: $u(t) \,$ представља Хевисајдову функцију. $\delta(t) \,$ представља Диракову делта функцију. $\Gamma (z) \,$ представља Гама функцију. $\gamma \,$ је Ојлер-Маскеронијева константа. $t \,$, је реалан број који обично представља време, иако може да се односи на било коју димензију. $s \,$ је комплексна угаона фреквенција, а $\textrm{Re} \{ s \}$ је њен реални део. $\alpha \,$, $\beta \,$, $\tau \,$, and $\omega \,$ су реални бројеви. $n \,$, је цео број. Каузални систем је систем у коме је импулсни одзив h(t) нула за свако време t<0. Види још: каузалност.

Инверзна Лапласова трансформација

У општем случају, оригинал f(t) дате слике F(s) добија се решавањем Бромвичовог интеграла:

$\mathcal{L}^{-1} \left\{F(s)\right\} = \frac{1}{2 \pi \imath} \int_{ \gamma - \imath \infty}^{ \gamma + \imath \infty} e^{st} F(s)\,ds \qquad \gamma> s_0,$

где је $s_0$ реални део било ког сингуларитета функције $F(s)$.

С обзиром да се овде интеграли комплексна променљива, потребно је користити методе комплексне математичке анализе. Многи примери инверзне Лапласове трансформације наведени су у табели изнад. У пракси, функције се трансформишу у примере из таблице, на пример разлагањем на просте факторе.

Дискретна Лапласова трансформација

За функцију целобројне променљиве $f(n)$ њена дискретна Лапласова трансформација се дефинише као:

$F^{\ast}(s) =\sum_{n=0}^{\infty} e^{-sn} f(n)$

Конвергенција овог реда зависи од $s$.

Све особине и теореме регуларне Лапласове трансформације имају своје еквиваленте у дискретној Лапласовој трансформацији.

Примена

У математици Лапласова трансформација се користи за анализирање линеарних, временски непроменљивих система, као: електричних кола, хармонијских осцилатора, оптичких уређаја и механичких система. Има примене у решавању диференцијалних једначина и теорији вероватноће.

Спољашње везе

• http://mathworld.wolfram.com/LaplaceTransform.html
• http://www.mathe.braunling.de/Laplace.htm
• http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/aufgaben/L/laplace_transformation.html
• http://www3.htl-hl.ac.at/homepage/bok/dt/mathe/mindex.html
• http://www.seeit.de/xedu/formeln/Lars%20Weiser/laplace.pdf
• http://www-hm.ma.tum.de/archiv/mw4/ss05/folien/Laplace.pdf
• http://www.convertit.com/Go/ConvertIt/Reference/AMS55.ASP?Res=150&Page=1020