Лапласов оператор

Лапласов оператор, у математици, је елиптички диференцијални оператор другог реда. Има бројне примене широм математике, те у физици, електростатици, квантној механици, обради снимака, итд. Назван је по француском математичару Пјеру Симону Лапласу.

Имајући у виду појмове дивергенције и градијента, за дату скаларну функцију $u = u(x, y, z)$, биће:

$div\,grad\,u = (\frac{\partial^{2}u}{\partial x^2}, \frac{\partial^{2}u}{\partial y^2}, \frac{\partial^{2}u}{\partial z^2})$,

што се може написати као:

$div\,grad\,u = (\frac{\partial^2}{\partial x^2}, \frac{\partial^2}{\partial y^2}, \frac{\partial^2}{\partial z^2})u$.

Десна страна последњег израза, без ознаке за функцију $u$, представља Лапласов оператор и обележава се са делта - Δ:

$\Delta = (\frac{\partial^2}{\partial x^2}, \frac{\partial^2}{\partial y^2}, \frac{\partial^2}{\partial z^2})$.

Користећи оператор набла, тај израз можемо записати као:

$\nabla^2 \phi = \nabla \cdot (\nabla \phi) \;.$

Координатни изрази

У једнодимензионалном и дводимензионалном Декартовом координатном систему Лапласов оператор је:

$\Delta_{1} \equiv \nabla^{2}_{1} = {\partial^2 \over \partial x^2 } \;, \quad \Delta_{2} \equiv \nabla^{2}_{2} = {\partial^2 \over \partial x^2 } + {\partial^2 \over \partial y^2 } \;.$

У тродимензионалном Декартовом координатном систему је :

$\Delta_{3} \equiv \nabla^{2}_{3} = {\partial^2 \over \partial x^2 } + {\partial^2 \over \partial y^2 } + {\partial^2 \over \partial z^2 } \;.$

У тродимензионалном цилиндричном координатном систему је:

$\nabla^2 t = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left(r {\partial t \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 t \over \partial \phi^2} + {\partial^2 t \over \partial z^2 }$

У тродимензионалном сферном координатном систему је :

$\nabla^2 t = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left(r^2 {\partial t \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left(\sin \theta {\partial t \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 t \over \partial \phi^2}$

У Еуклидском простору ${\mathbb R}^n$ Лапласов оператор је дат у стандардним координатама као

$\Delta_n=\nabla_n^2=\sum_{j=1}^n\frac{\partial^2}{\partial x_i^2}$.

Лапласов оператор у општим криволинијским координатама дан је са:

$\nabla^2 f (q_1,\ q_2,\ q_3) = \operatorname{div}\,\operatorname{grad}\,f(q_1,\ q_2,\ q_3) =$

$=\frac{1}{H_1H_2H_3}\left[ \frac{\partial}{\partial q_1}\left( \frac{H_2H_3}{H_1}\frac{\partial f}{\partial q_1} \right) + \frac{\partial}{\partial q_2}\left( \frac{H_1H_3}{H_2}\frac{\partial f}{\partial q_2} \right) + \frac{\partial}{\partial q_3}\left( \frac{H_1H_2}{H_3}\frac{\partial f}{\partial q_3} \right)\right],$

где су $H_i\$ Ламеови коефицијенти.

У случају Римановога криволинијскога простора дефинисанога метричким тензором $g_{ij}$ Лапласијан је дан са:

$\nabla^2 f = \frac{1}{\sqrt{g}}\sum^n_{i=1}\frac{\partial}{\partial x^i}(\sqrt{g} \sum^n_{k=1}g^{ik} \frac{\partial f}{\partial x^k})$

а метрика простора дефинисана је са:

$ds^2 =\sum^n_{i,j=1}g_{ij} dx^idx^j$ .

Својства

Лапласов оператор је линеаран:

$\nabla^2 (f + g) = \nabla^2 f + \nabla^2 g \;.$

Такође важи :

$\nabla^2(fg)=(\nabla^2f)g+2(\nabla f)\cdot(\nabla g)+f(\nabla^2g) \;.$

Уопштења

Лапласов оператор се може уопштити на више начина. Даламберов оператор је дефинисан на простору Минковског. Лаплас-Белтрамијев оператор је елиптички диференцијални оператор другог реда дефинисан на свакој Римановој многострукости. Лаплас-де Рамов оператор дејствује на просторима диференцијалних форми на псеудо-Римановим површима.