Лапласов оператор

Из Википедије, слободне енциклопедије

Лапласов оператор је скалрани диференциални оператор, назван по француском математичару Пјер Симон Лапласу.

Оператор је једнак продукту div(grad φ) и често се запише као Делта - Δ.


 \nabla^2 \phi = \nabla \cdot ( \nabla \phi ) \; .


У 1-Д и 2-Д картезичном простору Лапласов оператор је :

 \Delta_{1} \equiv \nabla^{2}_{1} = {\partial^2 \over \partial x^2 } \; , \quad \Delta_{2} \equiv \nabla^{2}_{2} = {\partial^2 \over \partial x^2 } + {\partial^2 \over \partial y^2 } \; .

У тродимензионалном (3-Д) картезичном простору је :

 \Delta_{3} \equiv \nabla^{2}_{3} = 
{\partial^2 \over \partial x^2 } +
{\partial^2 \over \partial y^2 } +
{\partial^2 \over \partial z^2 } \; .

У 3-Д цилиндричном простору је:

 \nabla^2 t 
= {1 \over r} {\partial \over \partial r}
  \left( r {\partial t \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2} {\partial^2 t \over \partial \phi^2}
+ {\partial^2 t \over \partial z^2 }

У 3-Д сферичном простору је :

 \nabla^2 t 
= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
  \left( r^2 {\partial t \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
  \left( \sin \theta {\partial t \over \partial \theta} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 t \over \partial \phi^2}


Лапласов оператор је линеаран:

 \nabla^2 (f + g) = \nabla^2 f + \nabla^2 g \; .

Такође важи :

\nabla^2(fg)=(\nabla^2f)g+2(\nabla f)\cdot(\nabla g)+f(\nabla^2g) \; .
Направи књигу