Лапласов оператор

Из Википедије, слободне енциклопедије

Лапласов оператор је скалрани диференциални оператор, назван по француском математичару Пјер Симон Лапласу.

Оператор је једнак продукту div(grad φ) и често се запише као Делта - Δ.

$\nabla^2 \phi = \nabla \cdot ( \nabla \phi ) \; .$

У 1-Д и 2-Д картезичном простору Лапласов оператор је :

$\Delta_{1} \equiv \nabla^{2}_{1} = {\partial^2 \over \partial x^2 } \; , \quad \Delta_{2} \equiv \nabla^{2}_{2} = {\partial^2 \over \partial x^2 } + {\partial^2 \over \partial y^2 } \; .$

У тродимензионалном (3-Д) картезичном простору је :

$\Delta_{3} \equiv \nabla^{2}_{3} = {\partial^2 \over \partial x^2 } + {\partial^2 \over \partial y^2 } + {\partial^2 \over \partial z^2 } \; .$

У 3-Д цилиндричном простору је:

$\nabla^2 t = {1 \over r} {\partial \over \partial r} \left( r {\partial t \over \partial r} \right) + {1 \over r^2} {\partial^2 t \over \partial \phi^2} + {\partial^2 t \over \partial z^2 }$

У 3-Д сферичном простору је :

$\nabla^2 t = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial t \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial t \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 t \over \partial \phi^2}$